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教材 · 数学 Course 2 · 图形

向量

ベクトル

平面向量的运算、成分与内积，位置向量与平面图形，向量方程，空间坐标与空间向量。

学习目标

  • 能用两个不平行的向量表示图形中的任意向量，并用成分计算向量的和、实数倍、大小，判断平行
  • 能用内积求夹角、判断垂直，把含大小的条件平方展开，求出含参数的向量长度的最小值
  • 能用位置向量求分点、重心和两线交点（比较系数），读出 s、t 条件给出的点的存在范围，并把这些方法用到空间图形上
阅读路线

先读「平面向量的运算与成分」，掌握加减、实数倍、平行与唯一分解，这是整章的语言；再读「向量的内积」，学会用内积算角度、垂直和长度。接着读「位置向量与平面图形」，用分点公式和比较系数求交点、比值与面积，这是 EJU 向量大题的主体；然后读「向量方程」，把直线、圆和点的存在范围写成向量式。平面部分读完，再读「空间坐标与空间向量」把成分和内积推广到三维，读「空间的位置向量与图形」处理四面体里的交点与共面，最后读「空间图形的向量方程」写空间的直线、平面和球面。

  1. 1平面向量的运算与成分ベクトルの演算と成分向量只看大小和方向，可以平移。加法首尾相接：AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}；减法统一起点：OB→−OA→=AB→\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}（终点减起点）。两个不平行的非零向量 a⃗\vec a、b⃗\vec b 能把平面上任何向量唯一地写成 sa⃗+tb⃗s\vec a+t\vec b；用成分计算时逐个分量做加减和倍数，大小 ∣a⃗∣=a12+a22|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}。ベクトルとその演算・ベクトルの成分 · 约 1600 字
  2. 2向量的内积ベクトルの内積a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=a1b1+a2b2\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2，θ\theta 是起点对齐后的夹角（0∘≤θ≤180∘0^\circ\le\theta\le180^\circ）。非零向量垂直等价于内积为 0；∣p⃗∣2=p⃗⋅p⃗|\vec p|^2=\vec p\cdot\vec p，所以带大小的条件一律先平方，展开后只用 ∣a⃗∣|\vec a|、∣b⃗∣|\vec b|、a⃗⋅b⃗\vec a\cdot\vec b 三个数来算。ベクトルの内積 · 约 1600 字
  3. 3位置向量与平面图形位置ベクトルと図形把线段 ABAB 内分成 m:nm:n 的点是 na⃗+mb⃗m+n\dfrac{n\vec a+m\vec b}{m+n}（外分把 nn 换成 −n-n），重心是 a⃗+b⃗+c⃗3\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}。求两条线的交点：把交点在每条线上各表示一次，因为 a⃗\vec a、b⃗\vec b 不平行，系数分别相等，解联立方程。位置ベクトル・ベクトルと図形 · 约 1700 字
  4. 4向量方程ベクトル方程式过 A(a⃗)A(\vec a)、方向为 d⃗\vec d 的直线是 p⃗=a⃗+td⃗\vec p=\vec a+t\vec d；过 AA、法向量为 n⃗\vec n 的直线是 n⃗⋅(p⃗−a⃗)=0\vec n\cdot(\vec p-\vec a)=0；圆是 ∣p⃗−c⃗∣=r|\vec p-\vec c|=r。p⃗=sa⃗+tb⃗\vec p=s\vec a+t\vec b 中，s+t=1s+t=1 是直线 ABAB，加上 s, t≥0s,\,t\ge0 是线段，s+t≤1s+t\le1 且 s, t≥0s,\,t\ge0 是 △OAB\triangle OAB，0≤s≤10\le s\le1 且 0≤t≤10\le t\le1 是平行四边形；别的条件先化成「系数之和为 1」。ベクトル方程式 · 约 1500 字
  5. 5空间坐标与空间向量空間座標と空間のベクトル空间里的距离、成分、内积公式都是平面公式多一个 zz 项；真正新的只有一条：三个不共面的向量 a⃗\vec{a}、b⃗\vec{b}、c⃗\vec{c} 能把任意向量唯一地写成 sa⃗+tb⃗+uc⃗s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}，所以可以比较系数。对称点看「谁不动」：关于哪条轴对称，那条轴的坐标不变、其余两个变号。空間座標・空間のベクトルとその演算，内積・空間のベクトルの成分 · 约 1600 字
  6. 6空间的位置向量与图形ベクトルと空間図形在直线 ABAB 上的点，位置向量写成 a⃗\vec{a}、b⃗\vec{b} 的组合时系数和为 11；在平面 ABCABC 上的点，写成 a⃗\vec{a}、b⃗\vec{b}、c⃗\vec{c} 的组合时系数和也为 11。交点用两种写法比较系数（靠 a⃗\vec{a}、b⃗\vec{b}、c⃗\vec{c} 不共面），长度和垂直交给内积。ベクトルと空間図形 · 约 1600 字
  7. 7空间图形的向量方程空間のベクトル方程式直线 p⃗=a⃗+td⃗\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}（一点＋方向向量），平面 n⃗⋅(p⃗−a⃗)=0\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0 即 ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0（一点＋法线向量），球面 ∣p⃗−c⃗∣=r|\vec{p}-\vec{c}|=r。空间里一个一次方程是平面，它的系数 (a, b, c)(a,\,b,\,c) 就是法线向量。空間のベクトル方程式 · 约 1700 字