向量方程

为什么是这样

$P$ 在过 $A$、平行于 $\vec d$ 的直线上，等价于 $\overrightarrow{AP}=t\vec d$，即 $\vec p=\vec a+t\vec d$，$t$ 是参数。写成成分再消去 $t$，就回到直线方程。过两点 $A$、$B$ 时取 $\vec d=\vec b-\vec a$，得 $\vec p=(1-t)\vec a+t\vec b$，两个系数之和总是 1。

所以 $\vec p=s\vec a+t\vec b$ 中 $s+t=1$ 是直线 $AB$，再加 $s,\,t\ge0$ 是线段。$s+t=k$（$0<k\le1$）时，$P$ 在与 $AB$ 平行、按 $k$ 缩小的线段上，$k$ 从 0 增到 1，扫出 $\triangle OAB$。固定 $s$、让 $t$ 从 0 变到 1，$P$ 走一条与 $OB$ 平行的线段，再让 $s$ 变，就扫出平行四边形。

直线也能用垂直来写：法向量 $\vec n$ 与直线垂直，直线就是 $\vec n\cdot(\vec p-\vec a)=0$，所以 $ax+by+c=0$ 的法向量是 $(a,\,b)$。圆是 $|\vec p-\vec c|=r$；以 $AB$ 为直径的圆，由「直径所对的圆周角是直角」写成 $(\vec p-\vec a)\cdot(\vec p-\vec b)=0$。

定量表达

条件不是标准样子时先变形。$3s+t=3$、$s,\,t\ge0$：化成 $s+\dfrac{t}{3}=1$，$\vec p=s\vec a+\dfrac{t}{3}(3\vec b)$，范围是 $A$ 与 $3\vec b$ 的终点之间的线段。$1\le s+t\le2$、$s,\,t\ge0$：与 $AB$ 平行的线段从 $AB$ 移到 $2\vec a$、$2\vec b$ 的终点之间，扫出一个梯形。

圆 $|\vec p-\vec c|=r$ 平方后代入成分，就是 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。圆上点 $P_0(\vec p_0)$ 处的切线与半径垂直，整理成 $(\vec p_0-\vec c)\cdot(\vec p-\vec c)=r^2$，中心在原点时就是 $x_0x+y_0y=r^2$。