平面向量的运算与成分

为什么是这样

从 $A$ 指向 $B$ 的向量记作 $\overrightarrow{AB}$，大小记作 $|\overrightarrow{AB}|$。向量只看大小和方向，平移后不变，所以四点不共线时，$ABCD$ 是平行四边形等价于 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$。大小为 1 的是单位向量，起点终点重合的是零向量 $\vec 0$，等长反向的是逆向量 $-\vec a$。

加法是接着走：从 $A$ 到 $B$ 再到 $C$，合起来是从 $A$ 到 $C$；起点放在一起时，和是平行四边形的对角线。减法统一起点：$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$，终点减起点，它是平行四边形的另一条对角线。

$k\vec a$ 的大小是 $|k|$ 倍，$k<0$ 时反向，所以两个非零向量平行等价于 $\vec b=k\vec a$，$k$ 可正可负。两个不平行的非零向量像一副斜着的坐标尺，任何 $\vec p$ 都只有一种拆法 $s\vec a+t\vec b$。拆法唯一，才能比较系数，这是后面求交点的根本工具。

定量表达

加法和实数倍的运算律与一次式相同，所以向量等式可以移项、合并：$3\vec x-\vec a=\vec x+5\vec b$ 化成 $\vec x=\dfrac{\vec a+5\vec b}{2}$。证明向量等式靠三招：合成（首尾相接的相加）、分割（$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$）、调头（$\overrightarrow{QP}=-\overrightarrow{PQ}$），把一边减另一边化成 $\vec 0$。

取 $x$ 轴、$y$ 轴方向的单位向量作基本向量，把 $\vec a$ 沿它们拆开，得到成分表示 $\vec a=(a_1,\,a_2)$。于是运算逐个分量做，相等就是成分分别相等，大小由勾股定理得 $\sqrt{a_1^2+a_2^2}$；$\overrightarrow{AB}$ 的成分是 $B$ 的坐标减 $A$ 的坐标。平行条件 $\vec b=k\vec a$ 消去 $k$，得 $a_1b_2-a_2b_1=0$。