空间图形的向量方程

为什么是这样

直线：过点 $A(\vec{a})$、方向向量 $\vec{d}\ne\vec{0}$ 的直线上的点满足 $\overrightarrow{AP}=t\vec{d}$，即 $\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$，参数 $t$ 每取一个实数得一个点。过两点 $A$、$B$ 时取 $\vec{d}=\overrightarrow{AB}$，得 $\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$，正是上一节的「系数和为 $1$」。

平面：平面里方向无数，但都和同一个方向垂直，这个方向 $\vec{n}$ 叫法线向量。过点 $A$、法线向量为 $\vec{n}$ 的平面上，$\overrightarrow{AP}$ 躺在平面里，所以 $\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0$。展开是 $x$、$y$、$z$ 的一次方程：三个未知数一个条件，剩两个自由度，是面不是线。$x=2$ 也一样，是垂直于 $x$ 轴的平面。

球面：到中心 $C(\vec{c})$ 距离为 $r$ 的点满足 $|\vec{p}-\vec{c}|=r$，平方后展开就是 $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$。以 $AB$ 为直径的球面还可以用「直径所对的角是直角」：$(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0$。

定量表达

直线写成成分是 $x=x_1+lt$，$y=y_1+mt$，$z=z_1+nt$，其中 $\vec{d}=(l,\,m,\,n)$；$lmn\ne0$ 时消去 $t$ 得 $\dfrac{x-x_1}{l}=\dfrac{y-y_1}{m}=\dfrac{z-z_1}{n}$。某个成分为 $0$ 时那个坐标固定不变，如 $l=0$ 写 $x=x_1$。换起点、把方向向量乘非零数，表示的仍是同一条直线。

平面方程和点到平面的距离见下面的公式块，距离公式就是平面上点到直线距离公式多一项。三个截距为 $p$、$q$、$r$（都不为 $0$）的平面是 $\dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}+\dfrac{z}{r}=1$。球面的一般形 $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$ 对 $x$、$y$、$z$ 分别配方化成标准形，右边为正才是球面。