向量的内积

为什么是这样

把 $\vec a$、$\vec b$ 的起点放在同一点，量出的角 $\theta$（$0^\circ\le\theta\le180^\circ$）是夹角，内积定义为 $|\vec a||\vec b|\cos\theta$。起点必须对齐：$\triangle ABC$ 中 $\overrightarrow{BA}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角是 $\angle B$，而首尾相接的 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 平移对齐后，夹角是 $180^\circ-B$。

$|\vec b|\cos\theta$ 是 $\vec b$ 投在 $\vec a$ 方向上带正负的影子，内积就是 $|\vec a|$ 乘这段影子。所以非零向量垂直等价于内积为 0；同向时内积是 $|\vec a||\vec b|$，反向时是 $-|\vec a||\vec b|$。

成分形式来自余弦定理：$|\vec b-\vec a|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b$。代入成分展开，平方项两边消去，剩下 $\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2$。

定量表达

内积满足交换律和分配律，可以像多项式那样展开：$|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$，其中用到 $\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$。把 $|\vec a+\vec b|^2$ 与 $|\vec a-\vec b|^2$ 相加，内积项抵消：平行四边形两条对角线的平方和，等于四条边的平方和。

夹角用 $\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$ 求。例如 $\vec a=(1,\,2)$、$\vec b=(3,\,1)$：内积是 $5$，$\cos\theta=\dfrac{5}{\sqrt5\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt2}$，$\theta=45^\circ$。由 $|\cos\theta|\le1$ 得 $|\vec a\cdot\vec b|\le|\vec a||\vec b|$，两边平方比较，就得到三角不等式 $|\vec a+\vec b|\le|\vec a|+|\vec b|$。