空间坐标与空间向量

为什么是这样

过原点 $O$ 取两两垂直的 $x$、$y$、$z$ 轴（座標軸），每两条轴确定一个坐标平面，如 $xy$ 平面就是 $z=0$。过点 $P$ 作三个平行于坐标平面的平面，交三条轴于 $a$、$b$、$c$，就得 $P(a,\,b,\,c)$。$x$ 轴上的点是 $(a,\,0,\,0)$，$xy$ 平面上的点是 $(a,\,b,\,0)$：不在其上的坐标为 $0$。

对称点只问哪个方向被翻过去。关于 $xy$ 平面对称，镜子是水平的，只有高度 $z$ 变号。关于 $x$ 轴对称等于绕 $x$ 轴转半圈，$x$ 不动，$y$、$z$ 变号。关于原点，三个都变号。所以关于哪条轴，那条轴的坐标不变；关于哪个平面，平面里的两个坐标不变，其余变号。

两点距离仍是勾股定理。以 $AB$ 为对角线作棱平行于坐标轴的长方体，棱长是三个坐标之差的绝对值。底面用一次勾股定理，再和竖直的棱用一次，$AB^2$ 就是三个差的平方和。

向量的相等、加减、实数倍、平行条件都和平面一样。新的是分解：空间要三个不在同一平面上的向量（1次独立）才能表示一切。先沿 $\vec{c}$ 的方向落到 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 所在的平面上，再在平面里分解（见下一张图），每一步的系数只有一种取法，所以两种写法相等时可以比较系数。

定量表达

用三条轴正方向的单位向量 $\vec{e}_1$、$\vec{e}_2$、$\vec{e}_3$（基本ベクトル）分解，$\vec{a}=a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2+a_3\vec{e}_3$ 记作 $(a_1,\,a_2,\,a_3)$。相等是三个成分分别相等，加减和实数倍逐个成分做，$\overrightarrow{AB}$ 是终点坐标减起点坐标，它的大小就是两点距离。

内积照搬定义 $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，用成分算多一项 $a_3b_3$，夹角和垂直条件见下面的公式块。交换律、分配律、$|\vec{a}|^2=\vec{a}\cdot\vec{a}$ 照旧，$|\vec{a}+t\vec{b}|^2$ 能像多项式一样展开。三点总在一个平面里，平面上的三角形面积公式也照用。