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教材 · 数学 Course 2 · 图形

图形与计量

図形と計量

三角比的定义与相互关系、钝角的三角比、正弦定理与余弦定理、面积与空间图形的计量。

学习目标

  • 已知 0∘≤θ≤180∘0^\circ\le\theta\le180^\circ 的一个三角比，能定出符号写出另外两个，并解出三角方程、三角不等式（含换元成二次函数求最值）。
  • 看到三角形的已知边角，能说出该用正弦定理还是余弦定理，求出其余的边、角和外接圆半径，并判断三角形是否存在、有几个、是什么形状。
  • 能把三角形、四边形的面积和空间图形里的长度、角度、体积拆成平面三角形来算，按 EJU 答题卡的格式填到最后一空。
阅读路线

按顺序读。「三角比与相互关系」在直角三角形里定义 sin、cos、tan，背熟两块三角板；「钝角的三角比」把定义搬到半圆坐标上，钝角的符号、三角方程的解数都从这里来；「正弦定理与余弦定理」用前两节解任意三角形，是本章的核心；「三角形与四边形的面积」接着用 12bcsin⁡A\dfrac12bc\sin A 求面积、内切圆半径和圆内接四边形；「空间图形的计量」最后把立体问题切成平面三角形，四节的工具一起用上。时间紧的话，前两节只看结论和公式块，把精力留给后三节的例题。

  1. 1三角比与相互关系三角比と相互関係锐角 θ\theta 定了，直角三角形的形状就定了，所以 sin⁡θ\sin\theta（对边÷斜边）、cos⁡θ\cos\theta（邻边÷斜边）、tan⁡θ\tan\theta（对边÷邻边）只由角决定。三者由 tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} 和 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 绑在一起：知道一个，就能求出另外两个。正弦，余弦，正接・三角比の相互関係 · 约 1700 字
  2. 2钝角的三角比三角比の拡張半径为 11 的上半圆上，从 xx 轴正方向转过 θ\theta 到达的点就是 (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta)，tan⁡θ\tan\theta 是这点与原点连线的斜率。钝角时 sin⁡θ>0\sin\theta>0，cos⁡θ<0\cos\theta<0，tan⁡θ<0\tan\theta<0；θ\theta 与 180∘−θ180^\circ-\theta 的点关于 yy 轴对称，正弦相同，余弦和正切变号。正弦，余弦，正接 · 约 1700 字
  3. 3正弦定理与余弦定理正弦定理と余弦定理一条边和它的对角成对已知，用正弦定理 asin⁡A=2R\dfrac{a}{\sin A}=2R；已知两边和夹角或三条边，用余弦定理 a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A。已知两边和其中一边的对角时，三角形可能有两个；求角时优先用余弦，因为 cos⁡\cos 一值只对应一个角。正弦定理，余弦定理 · 约 1600 字
  4. 4三角形与四边形的面积三角形の面積三角形面积 S=12bcsin⁡AS=\dfrac12bc\sin A：两边乘它们夹角的正弦再除以二，锐角、直角、钝角都成立。三边已知先用余弦定理求角；四边形用对角线切成三角形；内切圆半径由 S=12r(a+b+c)S=\dfrac12r(a+b+c) 反求。図形の計量 (空間図形への応用を含む) · 约 1600 字
  5. 5空间图形的计量空間図形の計量空间问题平面化：过对称轴切截面、把侧面展开、取一个面上的三角形、把体积换个底面再算一次。相似立体的长度比为 kk 时，面积比 k2k^2，体积比 k3k^3；锥体体积是 13×\dfrac13\times底面积×\times高。図形の計量 (空間図形への応用を含む) · 约 1500 字