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教材 · 数学 Course 2 · 图形 · 图形与计量

钝角的三角比

三角比の拡張

4 図形と計量 ／ 正弦，余弦，正接
一句话结论

半径为 11 的上半圆上，从 xx 轴正方向转过 θ\theta 到达的点就是 (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta)，tan⁡θ\tan\theta 是这点与原点连线的斜率。钝角时 sin⁡θ>0\sin\theta>0，cos⁡θ<0\cos\theta<0，tan⁡θ<0\tan\theta<0；θ\theta 与 180∘−θ180^\circ-\theta 的点关于 yy 轴对称，正弦相同，余弦和正切变号。

上一节的三角比住在直角三角形里，只能处理锐角。可要算的三角形常常带一个钝角，比如 120°，直角三角形里放不下它。办法是换个定义：把角放到坐标平面上，用转到的那一点的坐标来定义三角比。锐角时新旧定义一样，钝角时照样有值，只是有的变成负数。

为什么是这样

以原点 OO 为圆心画半径 rr 的上半圆，从 xx 轴正方向逆时针转过 θ\theta，落到点 P(x, y)P(x,\ y)，定义 sin⁡θ=yr\sin\theta=\dfrac{y}{r}，cos⁡θ=xr\cos\theta=\dfrac{x}{r}，tan⁡θ=yx\tan\theta=\dfrac{y}{x}。锐角时 xx、yy 就是邻边和对边，和上一节一致。比值与 rr 无关，取 r=1r=1：PP 就是 (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta)，tan⁡θ\tan\theta 是直线 OPOP 的斜率。

符号和范围从图上读：钝角时 PP 在第二象限，sin⁡θ>0\sin\theta>0，cos⁡θ<0\cos\theta<0，tan⁡θ<0\tan\theta<0。sin⁡θ\sin\theta 在 00 到 11 之间，cos⁡θ\cos\theta 在 −1-1 到 11 之间，斜率 tan⁡θ\tan\theta 可取任何实数；θ=90∘\theta=90^\circ 时 OPOP 竖直，tan⁡90∘\tan90^\circ 不存在。

θ\theta 和 180∘−θ180^\circ-\theta 的点关于 yy 轴对称，纵坐标相同、横坐标相反：正弦相等，余弦、正切变号。解方程也看这张图：sin⁡θ=k\sin\theta=k 是找纵坐标为 kk 的点，水平线（0≤k<10\le k<1）切上半圆于两点，解是 θ\theta 和 180∘−θ180^\circ-\theta，k=1k=1 时只有 90∘90^\circ；cos⁡θ=k\cos\theta=k 是找横坐标为 kk 的点，竖直线只碰一点。

半径 1 的上半圆：P 的坐标就是 (cos θ, sin θ)，tan θ 是 OP 的斜率xyO1−1Q：180°−θ 的点P(cos θ, sin θ)sin θcos θT(1, tan θ)θ钝角（90°＜θ＜180°）P 在第二象限：x＜0，y＞0sin θ＞0，cos θ＜0，tan θ＜0θ 与 180°−θP、Q 关于 y 轴对称：sin 相同，cos、tan 变号tan θ＝直线 OP 的斜率＝T 的纵坐标θ＝90° 时不存在

定量表达

90∘+θ90^\circ+\theta 那组公式不必另记：90∘+θ=180∘−(90∘−θ)90^\circ+\theta=180^\circ-(90^\circ-\theta)，先按 180∘180^\circ 那组变号，再按余角换名。相互关系三式照样成立，推导只用到 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2。

已知一个求另两个，要多定一次符号。已知 cos⁡θ\cos\theta 或 tan⁡θ\tan\theta：sin⁡θ≥0\sin\theta\ge0，答案唯一，tan⁡θ<0\tan\theta<0 就说明是钝角。已知 sin⁡θ\sin\theta：θ\theta 可锐可钝，cos⁡θ=±1−sin⁡2θ\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta} 两组都写，除非题目限定了范围。三角方程（三角方程式）中 tan⁡θ=k\tan\theta=k 也只有一个解，但 k=0k=0 时有 0∘0^\circ、180∘180^\circ 两个。

0°≤θ≤180° 的三角方程：解的个数看直线和上半圆有几个交点sin θ＝k（0＜k＜1）y＝kθ180°−θ水平线交两点：两个解（k＝1 时只有 90°）cos θ＝k（−1≤k≤1）x＝kθ竖直线只碰一点：一个解（−1≤k≤1 都是一个）tan θ＝kT(1, k)θk≠0 时一个解（k＝0 时 0° 与 180° 两个）
sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ,cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡θ,tan⁡(180∘−θ)=−tan⁡θsin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ,cos⁡(90∘+θ)=−sin⁡θ,tan⁡(90∘+θ)=−1tan⁡θ\begin{aligned}\sin(180^\circ-\theta)&=\sin\theta, & \cos(180^\circ-\theta)&=-\cos\theta, & \tan(180^\circ-\theta)&=-\tan\theta\\ \sin(90^\circ+\theta)&=\cos\theta, & \cos(90^\circ+\theta)&=-\sin\theta, & \tan(90^\circ+\theta)&=-\dfrac{1}{\tan\theta}\end{aligned}
θ\theta
角；第一行 0∘≤θ≤180∘0^\circ\le\theta\le180^\circ，第二行 0∘≤θ≤90∘0^\circ\le\theta\le90^\circ
适用条件
  • 含 tan⁡\tan 的式子要两边都有意义：第一行除去 θ=90∘\theta=90^\circ，第二行除去 θ=0∘\theta=0^\circ、90∘90^\circ
  • 记法：带 90∘90^\circ 的名字互换（sin⁡\sin 与 cos⁡\cos 互换，tan⁡\tan 换成 1tan⁡\dfrac{1}{\tan}），带 180∘180^\circ 的名字不变；符号按「把 θ\theta 当锐角，看左边的角落在第几象限」来定

怎么用

三角不等式先把不等号换成等号解方程，再在半圆上看哪段弧满足：sin⁡θ>k\sin\theta>k 是水平线上方那段弧，夹在两解之间；cos⁡θ<k\cos\theta<k 是竖直线左边的弧，一直到 180∘180^\circ；tan⁡θ\tan\theta 看斜率，并扣掉 90∘90^\circ。

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