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教材 · 数学 Course 2 · 图形 · 图形与计量

三角形与四边形的面积

三角形の面積

4 図形と計量 ／ 図形の計量 (空間図形への応用を含む)
一句话结论

三角形面积 S=12bcsin⁡AS=\dfrac12bc\sin A：两边乘它们夹角的正弦再除以二，锐角、直角、钝角都成立。三边已知先用余弦定理求角；四边形用对角线切成三角形；内切圆半径由 S=12r(a+b+c)S=\dfrac12r(a+b+c) 反求。

「底乘高除以二」你早就会，可 EJU 的图形题很少把高直接告诉你：给的往往是两条边和一个角，或者三条边。三角比在这里的用处只有一个，就是从已知的边和角里把高算出来。高一到手，三角形的面积、四边形的面积、内切圆的半径、角平分线的长都能接着算，面积成了把边、角、半径串起来的中转站。

为什么是这样

从 CC 向直线 ABAB 作垂线，垂足为 HH，高 CHCH 是直角三角形 ACHACH 的一条直角边。∠A\angle A 是锐角时 CH=bsin⁡ACH=b\sin A；∠A\angle A 是钝角时垂足落在 BABA 的延长线上，CH=bsin⁡(180∘−A)CH=b\sin(180^\circ-A)，而 sin⁡(180∘−A)=sin⁡A\sin(180^\circ-A)=\sin A，结果一样；直角时 sin⁡90∘=1\sin90^\circ=1，回到 12bc\dfrac12bc。所以 S=12bcsin⁡AS=\dfrac12bc\sin A 对所有三角形成立，前提只有一个：角必须是这两条边的夹角。

只给三条边时，先用余弦定理求出某个角的余弦，再由 sin⁡A=1−cos⁡2A\sin A=\sqrt{1-\cos^2A} 得正弦。三角形的内角在 0∘0^\circ 到 180∘180^\circ 之间，正弦一定是正的，根号前不用考虑负号。把这一套用字母做一遍并整理，就是海伦公式（ヘロンの公式），边长是整数时用它最快。

内切圆半径也藏在面积里。把内心 II 和三个顶点相连，三角形被切成三块，每块以一条边为底、以 rr 为高，加起来就是 S=12r(a+b+c)S=\dfrac12r(a+b+c)。多边形同理：用对角线切成三角形再相加。平行四边形是两个全等三角形，面积 absin⁡θab\sin\theta；一般四边形的两条对角线 pp、qq 夹角为 θ\theta 时，切出的四块三角形的夹角正弦都是 sin⁡θ\sin\theta，合起来是 12pqsin⁡θ\dfrac12pq\sin\theta。

三角形的高：∠A 是锐角时垂足在边上，钝角时在延长线上，高都等于 b sin A∠A 是锐角∠A 是钝角ABCHbachABCHbach180°−A垂足在边上：h = b sin A垂足在延长线上：h = b sin(180°−A) = b sin A两种情况的高相同，所以 S = ½ × c × h = ½ bc sin A 总成立

定量表达

按已知条件选式子：两边和夹角直接用 12bcsin⁡A\dfrac12bc\sin A；三边先求一个角，或者用海伦公式；要内切圆半径就先求 SS 再除以 s=a+b+c2s=\dfrac{a+b+c}{2}；要外接圆半径用正弦定理 R=a2sin⁡AR=\dfrac{a}{2\sin A}，与面积合起来还有 S=abc4RS=\dfrac{abc}{4R}。

圆内接四边形是 EJU 最爱的四边形。对角互补，所以 sin⁡D=sin⁡B\sin D=\sin B，而 cos⁡D=−cos⁡B\cos D=-\cos B。四条边已知时，对角线 ACAC 在两个三角形里各用一次余弦定理，两式相等解出 cos⁡B\cos B，再求 sin⁡B\sin B，面积就是两块之和 12(ab+cd)sin⁡B\dfrac12(ab+cd)\sin B。

B+D=180∘ ⟹ sin⁡D=sin⁡B,cos⁡D=−cos⁡BAC2=a2+b2−2abcos⁡B=c2+d2+2cdcos⁡BB+D=180^\circ\ \Longrightarrow\ \sin D=\sin B,\quad \cos D=-\cos B\qquad AC^2=a^2+b^2-2ab\cos B=c^2+d^2+2cd\cos B
B, DB,\ D
圆内接四边形 ABCDABCD 的一组对角 ∠ABC\angle ABC、∠CDA\angle CDA
a, b, c, da,\ b,\ c,\ d
四条边 AB=aAB=a、BC=bBC=b、CD=cCD=c、DA=dDA=d
ACAC
把四边形分成 △ABC\triangle ABC 与 △ACD\triangle ACD 的那条对角线
适用条件
  • 只对内接于圆的四边形成立：对角之和是 180∘180^\circ。另一组对角 A+C=180∘A+C=180^\circ 同样可用，选哪组看题目给了哪条对角线
  • 右边的等式是在两个三角形里各用一次余弦定理；两式相等，就能解出 cos⁡B\cos B
  • 四边形面积 S=12(ab+cd)sin⁡BS=\dfrac12(ab+cd)\sin B，因为两块三角形的夹角正弦相等

怎么用

EJU 的图形大题几乎总按「cos⁡→sin⁡→\cos\to\sin\to 面积 →\to 内切圆或外接圆半径」的顺序设空，前一空是后一空的材料。反过来，已知面积也能求长度：高 h=2Sah=\dfrac{2S}{a}；角平分线 ADAD 的长，由 △ABD+△ADC=△ABC\triangle ABD+\triangle ADC=\triangle ABC 三块都用 12×\dfrac12\times两边×sin⁡\times\sin 写出，ADAD 只出现一次，解一次方程即可。

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