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教材 · 数学 Course 2 · 图形

复数平面

複素数平面

复数平面与极形式、棣莫弗定理、用复数处理图形。

学习目标

  • 能把复数画成复数平面上的点，写出共轭、−z-z 的对称关系和两点间的距离，把 a+bia+bi 与极形式 r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos\theta+i\sin\theta) 互相改写，并由「绝对值相乘、偏角相加」求积与商。
  • 能用棣莫弗定理算 (a+bi)n(a+bi)^n、求使 znz^n 为实数的最小自然数 nn，解 zn=αz^n=\alpha 写出全部 nn 个解，并说明它们在复数平面上排成正 nn 边形。
  • 能用 γ−αβ−α\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} 读出边长之比和夹角，求绕任意一点旋转后的点，判断三点共线、两直线垂直和三角形的形状，并把 ∣z−α∣=k∣z−β∣|z-\alpha|=k|z-\beta| 这类方程化成圆或直线。
阅读路线

按顺序读三节。先读「复数平面与极形式」，把复数当成点和箭头，学会极形式和「乘法 = 伸缩加旋转」；再读「棣莫弗定理」，它把同一个数连乘 nn 次，并反过来解 zn=αz^n=\alpha；最后读「复数与图形」，把绕原点的旋转推广到绕任意一点，用来处理三角形、圆和动点。读本章前，最好已读过「复数与二次方程的解」（复数的四则运算与共轭）、「加法定理及其应用」和「位置向量与平面图形」。

  1. 1复数平面与极形式複素数平面と極形式复数 a+bia+bi 是平面上的点 (a, b)(a,\,b)；写成极形式 r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos\theta+i\sin\theta) 后，乘法就是绝对值相乘、偏角相加，除法是相除、相减。所以乘 cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta+i\sin\theta 就是绕原点旋转 θ\theta。複素数平面・複素数の極形式 · 约 1700 字
  2. 2棣莫弗定理ド・モアブルの定理(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta：nn 次方就是偏角乘 nn，绝对值乘方。反过来，zn=αz^n=\alpha 有 nn 个解，偏角是 arg⁡α+2kπn\dfrac{\arg\alpha+2k\pi}{n}，在复数平面上排成正 nn 边形。ド・モアブルの定理 · 约 1700 字
  3. 3复数与图形複素数と図形γ−αβ−α\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} 的绝对值是 ACAB\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}，偏角是 ∠BAC\angle\mathrm{BAC}。它是实数就共线，是纯虚数就垂直；B\mathrm{B} 绕 A\mathrm{A} 转 θ\theta，就是 γ=α+(cos⁡θ+isin⁡θ)(β−α)\gamma=\alpha+(\cos\theta+i\sin\theta)(\beta-\alpha)。∣z−α∣|z-\alpha| 是到 A\mathrm{A} 的距离，圆、垂直平分线都由它写出。複素数と図形 · 约 1600 字