棣莫弗定理

为什么是这样

上一节知道：乘一个复数，绝对值相乘、偏角相加。同一个 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ 连乘 $n$ 次，绝对值变成 $r^n$，偏角加 $n$ 次变成 $n\theta$。$r=1$ 时就是棣莫弗定理（ド・モアブルの定理）。$n$ 为负也成立：$\dfrac1z$ 的偏角是 $-\theta$，倒着转就行。

解 $z^n=\alpha$ 时，把两边都写成极形式比较。绝对值：$r^n=|\alpha|$，所以 $r=\sqrt[n]{|\alpha|}$。偏角：$n\theta$ 和 $\arg\alpha$ 指同一方向，但可以差 $2\pi$ 的整数倍，所以 $n\theta=\arg\alpha+2k\pi$。这个 $2k\pi$ 除以 $n$ 以后不再是整圈，于是得到 $n$ 个不同的方向，相邻两个差 $\dfrac{2\pi}{n}$。

所以 $n$ 个解平均分布在一个圆上，是正 $n$ 边形的顶点。漏写 $2k\pi$ 只会得到其中一个解。

定量表达

算 $(a+bi)^n$：先化极形式，用定理，最后化回 $a+bi$。如 $1+\sqrt3\,i=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$，所以 $(1+\sqrt3\,i)^6=2^6(\cos2\pi+i\sin2\pi)=64$。$z^n$ 是实数，就是 $n\theta$ 为 $\pi$ 的整数倍；是正的实数，$n\theta$ 为 $2\pi$ 的整数倍；是纯虚数，$n\theta=\dfrac{\pi}{2}+m\pi$。

$z^n=1$ 的解叫 $1$ 的 $n$ 次方根，偏角是 $\dfrac{2k\pi}{n}$。$n=3$ 时是 $1$ 和 $\dfrac{-1\pm\sqrt3\,i}{2}$，把其中一个记作 $\omega$，另一个就是 $\omega^2$。由 $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$，$\omega$ 满足 $\omega^3=1$、$\omega^2+\omega+1=0$。