复数平面与极形式

为什么是这样

把复数 $z=a+bi$ 对应到点 $(a,\,b)$，这个平面叫复数平面（複素数平面），横轴叫实轴，纵轴叫虚轴，点 $\mathrm{A}$ 表示 $\alpha$ 时记作 $\mathrm{A}(\alpha)$。把 $z$ 看成从原点出发的箭头，加减就是向量加减：$\alpha+\beta$ 是平行四边形的对角线，$\beta-\alpha$ 是从 $\mathrm{A}$ 指向 $\mathrm{B}$ 的箭头；实数倍 $k\alpha$ 落在直线 $\mathrm{O}\alpha$ 上。

共轭 $\bar{z}=a-bi$ 是关于实轴的对称点，$-z$ 是关于原点的对称点，$-\bar{z}$ 才是关于虚轴的对称点。绝对值 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 是到原点的距离，$|\beta-\alpha|$ 是 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ 两点的距离。最常用的一条是 $z\bar{z}=a^2+b^2=|z|^2$：它把绝对值变成能展开的乘积。

同一个点也能用「距离 $r$ 和方向 $\theta$」来定：$\theta$ 从实轴正方向逆时针量到 $\mathrm{O}z$，叫偏角 $\arg z$。由 $a=r\cos\theta$、$b=r\sin\theta$ 得 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，这就是极形式（極形式）。

两个极形式相乘，展开后的实部、虚部正好是加法定理里 $\cos(\theta_1+\theta_2)$、$\sin(\theta_1+\theta_2)$ 的展开式。所以积的绝对值是 $r_1r_2$，偏角是 $\theta_1+\theta_2$：乘一个复数，就是伸缩再旋转。

定量表达

化极形式先求 $r$，再用 $\cos\theta=\dfrac{a}{r}$、$\sin\theta=\dfrac{b}{r}$ 两个一起定 $\theta$。如 $1+\sqrt3\,i=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$。$\bar{z}$ 与 $\dfrac{1}{z}$ 的偏角都是 $-\theta$，绝对值分别是 $r$ 和 $\dfrac{1}{r}$。

由乘法公式，乘 $\cos\theta+i\sin\theta$ 是绕原点转 $\theta$，乘 $i$ 是转 $\dfrac{\pi}{2}$，乘 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ 是转 $\theta$ 再放大 $r$ 倍。例如把 $2+i$ 绕原点转 $\dfrac{\pi}{2}$，就是 $i(2+i)=-1+2i$。