复数与图形

为什么是这样

乘 $\cos\theta+i\sin\theta$ 只会绕原点转。要让 $\mathrm{B}(\beta)$ 绕 $\mathrm{A}(\alpha)$ 转，就先整体平移，让 $\mathrm{A}$ 落到原点：$\mathrm{B}$ 变成 $\beta-\alpha$；绕原点转完，再平移回去，加上 $\alpha$。所以转得的点 $\mathrm{C}$ 是 $\gamma=\alpha+(\cos\theta+i\sin\theta)(\beta-\alpha)$。

反过来读这个式子：$\beta-\alpha$ 是从 $\mathrm{A}$ 指向 $\mathrm{B}$ 的箭头，$\gamma-\alpha$ 是从 $\mathrm{A}$ 指向 $\mathrm{C}$ 的箭头。两者之商的绝对值是 $\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}$，偏角是从 $\mathrm{AB}$ 转到 $\mathrm{AC}$ 的角。偏角是 $0$ 或 $\pi$，即商为实数，三点共线；偏角是 $\pm\dfrac{\pi}{2}$，即商为纯虚数，$\mathrm{AB}\perp\mathrm{AC}$。

距离也能直接写：$|z-\alpha|$ 是 $z$ 到 $\mathrm{A}$ 的距离， $|z-\alpha|=r$ 是圆，$|z-\alpha|=|z-\beta|$ 是到两点等距的点，即垂直平分线。

定量表达

分点与向量相同：$\mathrm{AB}$ 按 $m:n$ 内分的点是 $\dfrac{n\alpha+m\beta}{m+n}$，外分的点是 $\dfrac{-n\alpha+m\beta}{m-n}$，三角形的重心是 $\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}{3}$。

$|z-\alpha|=k|z-\beta|$（$k\ne1$）两边平方后用 $|w|^2=w\bar{w}$ 展开。如 $|z|=2|z-3|$：$z\bar{z}=4(z-3)(\bar{z}-3)$，整理得 $z\bar{z}-4z-4\bar{z}+12=0$，即 $(z-4)(\bar{z}-4)=4$，$|z-4|=2$，是中心 $4$、半径 $2$ 的圆。拿不准时也可以设 $z=x+yi$，化成 $x$、$y$ 的方程。