抛物线

为什么是这样

从焦点 F 向准线 ℓ 作垂线，垂足 K。FK 的中点到两者一样远，是曲线上离焦点最近的点，即顶点。直线 FK 是对称轴：把一个点沿这条线翻折，它到 F 和到 ℓ 的距离都不变，所以曲线左右对称。离开顶点，到 F 的距离变大，到 ℓ 的距离也得同样变大，点只能往远离 ℓ 的方向跑，于是曲线张开、包住焦点，碰不到准线。

把顶点放在原点、轴放在 $x$ 轴上，设顶点到焦点的距离为 $p$，就是焦点 $(p,\,0)$、准线 $x=-p$。焦点正上方的点到准线的距离是 $2p$，到焦点也得是 $2p$，所以过焦点、垂直于轴的弦长 $4p$。方程里的 $4p$ 就是这个宽度，画草图时先点出 $(p,\,\pm2p)$，形状就不会走样。

把 $x$、$y$ 对调，等于把图形沿直线 $y=x$ 翻过去，焦点跑到 $y$ 轴上，得到 $x^2=4py$。二次函数 $y=ax^2$ 就是这一种：改写成 $x^2=\dfrac{1}{a}y$，$4p=\dfrac{1}{a}$，焦点 $\left(0,\,\dfrac{1}{4a}\right)$。以前学的抛物线和这里是同一条曲线。

定量表达

设曲线上的点 $P(x,\,y)$，从 P 向准线 $x=-p$ 作垂线，垂足 H。$PF=PH$ 写成 $\sqrt{(x-p)^2+y^2}=|x+p|$，两边都不是负数，平方不会多出解：$(x-p)^2+y^2=(x+p)^2$，展开后 $x^2$ 和 $p^2$ 抵消，剩下 $y^2=4px$。反过来满足这个方程的点也满足 $PF=PH$，所以方程表示的正好是这条轨迹，叫抛物线的标准形。

曲线对称不用画图就能判断：把方程里的 $y$ 换成 $-y$ 方程不变，曲线关于 $x$ 轴对称；$x$ 换成 $-x$ 不变，关于 $y$ 轴对称；两个同时换不变，关于原点对称；$x$、$y$ 对调不变，关于直线 $y=x$ 对称。$y^2=4px$ 只有 $y$ 是平方，所以只关于 $x$ 轴对称。