极坐标与极方程

为什么是这样

平面上取一点 $O$ 作极，从 $O$ 引射线 $OX$ 作始线。点 $P$ 由 $r=OP$ 和从 $OX$ 量到 $OP$ 的角 $\theta$（偏角）决定，记作 $(r,\theta)$。角差 $2\pi$ 指同一方向，所以 $(r,\theta)$ 与 $(r,\theta+2n\pi)$ 是同一点；限定 $0\le\theta<2\pi$ 时，极以外的点写法唯一。

极放在原点、始线放在 $x$ 轴正方向，直角三角形立刻给出 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$。两点 $(r_1,\theta_1)$、$(r_2,\theta_2)$ 和极围成三角形，两边是 $r_1$、$r_2$，夹角是偏角之差，所以距离用余弦定理、面积用 $\dfrac12ab\sin C$，不必换成直角坐标。

极方程 $r=f(\theta)$ 里 $r$ 可能算出负数。约定 $(-r,\theta)$ 与 $(r,\theta+\pi)$ 是同一点，即朝反方向走 $|r|$。这样 $r=2\cos\theta$ 在 $\theta$ 越过 $\dfrac{\pi}{2}$ 后仍有意义，画出的还是同一个圆。

定量表达

常用的极方程：中心在极、半径 $a$ 的圆 $r=a$；过极、中心在 $(a,\alpha)$ 的圆 $r=2a\cos(\theta-\alpha)$（直径所对的圆周角是直角）；过极、方向为 $\alpha$ 的直线 $\theta=\alpha$；从极向直线所作垂线的垂足为 $(p,\alpha)$ 的直线 $r\cos(\theta-\alpha)=p$。两种方程互换时，凑出 $r\cos\theta$、$r\sin\theta$、$r^2$ 再换成 $x$、$y$，需要时两边同乘 $r$。

到定点 $F$ 与到定直线 $\ell$ 的距离之比是常数 $e$ 的点，$0<e<1$ 画椭圆，$e=1$ 画抛物线，$e>1$ 画双曲线；$e$ 叫离心率，$\ell$ 叫准线。把 $F$ 放在极、准线取 $x=d$，$PF=r$，$PH=d-r\cos\theta$，由 $r=e(d-r\cos\theta)$ 解出公式块里的统一方程。