椭圆

为什么是这样

线长（距离之和）必须比两钉之间的距离长，椭圆才存在；相等时笔只能在两钉之间的线段上走。两个焦点的连线和它的垂直平分线都是对称轴，交点是中心。

笔走到长轴端点 A 时，线被拉成一条直线，$AF+AF'$ 正好是中心到 A 距离的两倍，所以距离之和等于长轴长 $2a$。笔走到短轴端点 B 时，B 到两焦点一样远，各占一半，$BF=a$。于是中心 O、焦点 F、端点 B 构成直角三角形，斜边是 $a$，两条直角边是 $b$ 和 $c$：$a^2=b^2+c^2$。这就是 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ 的来历，看图记这个三角形，就不会和双曲线弄混。

椭圆还可以看成压扁的圆。把圆 $x^2+y^2=a^2$ 上每一点的 $y$ 坐标乘以 $\dfrac{b}{a}$，圆的上半 $y=\sqrt{a^2-x^2}$ 变成 $y=\dfrac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$，正是椭圆的上半。所以圆沿一个方向均匀伸缩，得到的都是椭圆。

定量表达

焦点取 $F(c,\,0)$、$F'(-c,\,0)$，距离之和为 $2a$（$a>c>0$）。$PF+PF'=2a$ 写成两个根号之和，移项使一边只剩一个根号，平方两次，整理得 $(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$。令 $b=\sqrt{a^2-c^2}$，两边除以 $a^2b^2$ 就是标准形。椭圆与两轴交于 $(\pm a,\,0)$、$(0,\,\pm b)$ 四个顶点。

若 $b>a>0$，$x$、$y$ 的角色对调：长轴在 $y$ 轴上，长 $2b$，焦点 $(0,\,\pm\sqrt{b^2-a^2})$，距离之和 $2b$。实际做题不必分两套：比较两个分母，大的在哪个字母下，长轴和焦点就在哪条轴上。