双曲线

为什么是这样

设两焦点相距 $2c$，距离之差为 $2a$。三角形两边之差小于第三边，所以必须 $a<c$ 才有曲线。离 F 近的点和离 F′ 近的点各成一支，所以有两支。顶点在两焦点之间、离中心 $a$ 处：到远焦点 $c+a$、到近焦点 $c-a$，差正好 $2a$。

和椭圆不同，双曲线和 $y$ 轴不相交，$b$ 不是曲线上某一点的坐标，而是用 $b^2=c^2-a^2$ 定义的长度。以 $(\pm a,\,\pm b)$ 为顶点画一个长方形：它的半条对角线是 $\sqrt{a^2+b^2}=c$，以中心为圆心、过四个角的圆正好经过两个焦点；两条对角线延长就是渐近线。记住这个长方形，焦点和渐近线都能当场画出来。

为什么会有渐近线？离中心很远时，$\dfrac{x^2}{a^2}$ 和 $\dfrac{y^2}{b^2}$ 都非常大，右边的 $1$ 相比之下可以忽略，曲线就越来越接近 $\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}$，也就是 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$。差的那个 $1$ 永远不是 $0$，所以只靠近、不相交。

定量表达

焦点 $F(c,\,0)$、$F'(-c,\,0)$，$|PF-PF'|=2a$。和椭圆一样移项、平方两次，整理得 $(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)$，令 $b=\sqrt{c^2-a^2}$，两边除以 $a^2b^2$ 就是标准形。在第一象限，曲线 $y=\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$ 与直线 $y=\dfrac{b}{a}x$ 的竖直距离是 $\dfrac{ab}{x+\sqrt{x^2-a^2}}$，$x$ 越大越接近 $0$，这就是「渐近」。

焦点在 $y$ 轴上的双曲线写成 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1$，也就是 $\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{x^2}{a^2}=1$：顶点 $(0,\,\pm b)$，焦点 $(0,\,\pm\sqrt{a^2+b^2})$，距离之差 $2b$。它和右边为 $1$ 的那条共用同一个长方形和同一对渐近线。判断方法只有一条：把右边化成 $+1$，带正号的是哪个字母，顶点和焦点就在哪条轴上。