正弦定理与余弦定理

为什么是这样

约定 $a$、$b$、$c$ 是角 $A$、$B$、$C$ 对面的边。正弦定理来自外接圆（外接円）：过 $B$ 作直径 $BD$，直径所对的圆周角 $\angle BCD=90^\circ$，而 $\angle BDC$ 与 $\angle A$ 对着同一段弧 $BC$，大小相等，于是直角三角形 $BCD$ 里 $a=2R\sin A$。$A$ 是钝角时 $D$ 落在另一侧，$\angle D=180^\circ-A$，正弦不变；$A$ 是直角时 $a$ 本身就是直径。三条边都如此，每条边除以对角的正弦都等于直径 $2R$。

余弦定理是带修正项的勾股定理。把 $A$ 放在原点、$AB$ 放在 $x$ 轴上，则 $B(c,\ 0)$，$C(b\cos A,\ b\sin A)$，钝角 $A$ 也成立。两点距离给出 $a^2=(c-b\cos A)^2+(b\sin A)^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。$A=90^\circ$ 时修正项为 $0$；$A$ 为锐角时 $\cos A>0$，$a^2$ 比 $b^2+c^2$ 小；钝角时反过来。这就是用三边判断锐角、直角、钝角三角形的道理。

两条推论。由 $a=2R\sin A$ 得 $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$，边的比就是正弦的比，大边对大角。三角形存在的条件是任意两边之和大于第三边，即 $|b-c|<a<b+c$，用最长边检查一次就够。

定量表达

选哪个定理，看已知条件里有没有「一条边和它的对角」成对出现。已知一边和两角：先由 $A+B+C=180^\circ$ 补出第三个角，再用正弦定理求其余两边和 $R$。已知两边和夹角：余弦定理求第三边。已知三边：用变形 $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 求角。

已知两边和其中一边的对角（如 $a$、$b$、$A$）最容易错。以 $C$ 为圆心、$a$ 为半径画圆，它可能和角 $A$ 的另一边交于两点，得到两个三角形。算法有两条：用余弦定理列出 $c$ 的二次方程，正根有几个就有几个三角形；或用正弦定理求 $\sin B$，锐角、钝角两个候选都用 $A+B<180^\circ$ 检验。求角时优先用余弦定理，因为在 $0^\circ$ 到 $180^\circ$ 之间 $\cos$ 一值对应一角，正弦却一值对应两角。