空间的位置向量与图形

为什么是这样

固定一点 $O$，点 $P$ 对应 $\vec{p}=\overrightarrow{OP}$（位置ベクトル）。两点、三点总在一个平面里，所以平面上的分点、重心公式原样可用：$m:n$ 内分点是 $\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$，外分点把 $n$ 换成 $-n$，三角形的重心是三个位置向量的平均。

$P$ 在直线 $AB$ 上：$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}$，即 $\vec{p}=(1-k)\vec{a}+k\vec{b}$，系数和为 $1$。$P$ 在平面 $ABC$ 上：$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$，即 $\vec{p}=(1-s-t)\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}$，三个系数的和也是 $1$。从 $O$ 出发的射线上，系数一起伸缩，只有一处的和恰为 $1$，那就是射线穿过平面的点。

比较系数的根据：$O$ 是四面体的顶点时，$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 不共面，表示方法唯一。同一个点沿两条路线各写一次，三组系数分别相等，交点问题就成了解方程。

定量表达

共线写 $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}$，平行写 $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}$，几点重合就是位置向量相等，共面见下面的公式块。给的是坐标时，分点就是对每个坐标做同样的加权平均。

长度和角度交给内积：垂直就是内积为 $0$，$AB^2=|\vec{b}-\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{a}|^2$。题目给了棱长和夹角，先把三个大小和 $\vec{a}\cdot\vec{b}$、$\vec{b}\cdot\vec{c}$、$\vec{c}\cdot\vec{a}$ 列成表，后面的展开只查表。