ChatEJU

教材 · 数学 Course 2 · 图形 · 向量

位置向量与平面图形

位置ベクトルと図形

14 ベクトル ／ 位置ベクトル14 ベクトル ／ ベクトルと図形
一句话结论

把线段 ABAB 内分成 m:nm:n 的点是 na⃗+mb⃗m+n\dfrac{n\vec a+m\vec b}{m+n}（外分把 nn 换成 −n-n），重心是 a⃗+b⃗+c⃗3\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}。求两条线的交点：把交点在每条线上各表示一次，因为 a⃗\vec a、b⃗\vec b 不平行，系数分别相等，解联立方程。

选定一点 OO 作基准，平面上每个点 PP 都能用 OP→\overrightarrow{OP} 指认，这叫位置向量。把图形里的点都换成位置向量，中点、分点、重心、共线、交点就都成了计算。EJU 的向量大题多半落在这里：用 a⃗\vec a、b⃗\vec b 表示交点，再求比或面积。

为什么是这样

点 PP 的位置向量 OP→=p⃗\overrightarrow{OP}=\vec p 记作 P(p⃗)P(\vec p)。两点间 AB→=b⃗−a⃗\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a，与基准点取在哪里无关，所以基准常取三角形的一个顶点。

PP 把 ABAB 内分成 m:nm:n，就是从 AA 沿 AB→\overrightarrow{AB} 走全长的 mm+n\dfrac{m}{m+n}，整理得 na⃗+mb⃗m+n\dfrac{n\vec a+m\vec b}{m+n}。系数是交叉的：mm 越大，PP 越靠近 BB，b⃗\vec b 的分量越重。外分 m:nm:n 看成内分 m:(−n)m:(-n)，代入同一个式子。

重心 GG 把中线 AMAM 分成 2:12:1，代入得 g⃗=a⃗+b⃗+c⃗3\vec g=\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}；以 GG 为基准，就是 GA→+GB→+GC→=0⃗\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec 0。交点问题靠第一节的唯一分解：交点在两条线上各写一种表示，a⃗\vec a、b⃗\vec b 非零且不平行，系数必须分别相等。

内分点的位置向量是两端的加权平均；系数关系式决定点 P 的位置和三块面积之比内分 m : n 的点：p = (na + mb) ÷ (m + n)mnABPOabpm 越大，P 越靠近 B，b 的系数越大2PA + 3PB + 4PC = 0234ABCDPBD : DC = 4 : 3，AP : PD = 7 : 2△PBC : △PCA : △PAB = 2 : 3 : 4

定量表达

共线：PP 在直线 ABAB 上等价于有实数 kk 使 AP→=kAB→\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}，0≤k≤10\le k\le1 时在线段上。两点重合等价于位置向量相等。

aPA→+bPB→+cPC→=0⃗a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\vec 0（a, b, c>0a,\,b,\,c>0）改成以 AA 为起点，得 AP→=b+ca+b+cAD→\overrightarrow{AP}=\dfrac{b+c}{a+b+c}\overrightarrow{AD}，DD 把 BCBC 分成 c:bc:b。再用「同高比底」，得 △PBC:△PCA:△PAB=a:b:c\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=a:b:c：每个系数对应不含那个顶点的三角形，图中是 2:3:42:3:4。

长度和角度交给内积：AB2=∣b⃗−a⃗∣2AB^2=|\vec b-\vec a|^2 展开计算，垂直写成内积为 0；△OAB\triangle OAB 的面积也只用 ∣a⃗∣|\vec a|、∣b⃗∣|\vec b|、a⃗⋅b⃗\vec a\cdot\vec b 三个数就能算出（见公式）。

p⃗=na⃗+mb⃗m+nq⃗=−na⃗+mb⃗m−ng⃗=a⃗+b⃗+c⃗3\vec p=\dfrac{n\vec a+m\vec b}{m+n}\qquad \vec q=\dfrac{-n\vec a+m\vec b}{m-n}\qquad \vec g=\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}
a⃗, b⃗, c⃗\vec a,\ \vec b,\ \vec c
点 AA、BB、CC 的位置向量
m, nm,\ n
分线段 ABAB 的比 m:nm:n（m, n>0m,\,n>0）
p⃗\vec p
把线段 ABAB 内分成 m:nm:n 的点的位置向量
q⃗\vec q
把线段 ABAB 外分成 m:nm:n 的点的位置向量（m≠nm\ne n）
g⃗\vec g
△ABC\triangle ABC 的重心的位置向量
适用条件
  • 系数交叉：a⃗\vec a 配远离 AA 的那份 nn，b⃗\vec b 配 mm；内分时分子两系数之和等于分母
  • 外分就是把内分公式里的 nn 换成 −n-n；m<nm<n 时分母为负，也可上下同乘 −1-1 写成 na⃗−mb⃗n−m\dfrac{n\vec a-m\vec b}{n-m}
  • 中点是 m=n=1m=n=1 的内分点：a⃗+b⃗2\dfrac{\vec a+\vec b}{2}

怎么用

求交点分三步：① 取 OA→=a⃗\overrightarrow{OA}=\vec a、OB→=b⃗\overrightarrow{OB}=\vec b，写出已知点；② 交点在两条线上分别按 s:(1−s)s:(1-s)、t:(1−t)t:(1-t) 表示；③ 注明 a⃗\vec a、b⃗\vec b 非零且不平行，比较系数。延长 OPOP 交 ABAB 于 QQ 时，设 OQ→=kOP→\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP}，用「在直线 ABAB 上，系数之和为 1」定出 kk。

登录后免费阅读全文

本节还有 7 部分，以及配套的真题和小测验。

免费注册登录
  • 本节公式一览
  • 例题
  • 容易错在哪里
  • 自测
  • 小结
  • 日文术语