不等式表示的区域

不等式の表す領域

9 図形と方程式／不等式の表す領域

一句话结论

先把不等号换成等号画出边界，再定哪一侧： $y>f(x)$ 是上侧，圆内是 $(x-a)^2+(y-b)^2<r^2$ 。联立取公共部分，乘积按符号拆成两组取并集；求最值就令目标式等于 $k$ ，看它与区域最后接触的位置。

方程 $y=2x+1$ 画出一条直线；把等号换成「大于」，满足它的点就铺满了直线的一侧。几个不等式一起成立，就是几块区域叠在一起后剩下的公共部分。画出区域以后，「 $x+y$ 最大是多少」这类两个变量的问题，就变成在图上找一个点。

为什么是这样

沿竖线 $x=x_1$ 看：曲线上的点是 $(x_1,f(x_1))$ ，比它高的点满足 $y>f(x_1)$ ，比它低的满足 $y<f(x_1)$ 。每条竖线都这样，所以 $y>f(x)$ 是曲线的上侧。圆的情形更直接： $(x-a)^2+(y-b)^2$ 是到圆心距离的平方，小于 $r^2$ 就是在圆内。

边界把平面切成几块。式子要从正变负必须经过 $0$ ，也就是穿过边界，所以每一块内部式子的符号不变。只要在每块里挑一个好算的代表点（常用原点）代进去，就知道整块满不满足。乘积 $AB$ 的符号也这样看：每穿过一条边界，一个因式变号，乘积跟着变号，正负像棋盘一样交替。

几个不等式同时成立，取各自区域的公共部分（交集）；「或」取并集。 $AB>0$ 就是「 $A>0$ 且 $B>0$ 」或「 $A<0$ 且 $B<0$ 」，是两组联立不等式的并集； $AB<0$ 同理。

定量表达

基本对应见下面的公式块。直线写成 $ax+by+c>0$ 时，先解出 $y$ ；或者代入原点，原点满足就取含原点的一侧。绝对值按定义拆开： $|x|>4$ 是 $x<-4$ 或 $x>4$ ； $|x|+|y|\le2$ 按四个象限分别去绝对值，得到一个正方形。

求一次式 $ax+by$ 在区域 $D$ 上的最值（线性规划）：令 $ax+by=k$ ，这是一族平行直线， $k$ 由截距决定。让直线平移，它与 $D$ 还有公共点的 $k$ 的范围就是 $ax+by$ 的取值范围。最大、最小出现在直线离开 $D$ 前最后碰到的地方，多边形区域就是某个顶点，用直线的斜率与各边斜率比较就能判断是哪一个。目标式是 $(x-p)^2+(y-q)^2$ 时，令它等于 $k$ 得到圆， $k$ 是半径的平方，最值在顶点或圆与边界相切处。

区域也能证明命题。条件 $p$ 、 $q$ 表示的区域为 $P$ 、 $Q$ ，则「 $p\Rightarrow q$ 为真」⇔ $P\subset Q$ 。例如 $x^2+y^2\le4$ 是 $x+y\le k$ 的充分条件，要圆盘整个落在直线下侧： $k\ge0$ 且原点到直线距离 $\dfrac{k}{\sqrt2}\ge2$ ，即 $k\ge2\sqrt2$ 。

\begin{array}{ll} y>f(x) & \text{曲线 } y=f(x) \text{ 的上侧}\\ y<f(x) & \text{下侧}\\ (x-a)^2+(y-b)^2<r^2 & \text{圆的内部}\\ (x-a)^2+(y-b)^2>r^2 & \text{圆的外部}\end{array}

$f(x)$: 边界曲线（含直线）的式子
$(a,\ b),\ r$: 边界圆的圆心与半径
$x,\ y$: 平面上点的坐标

适用条件

不等式要先解出 $y$ （直线 $ax+by+c>0$ 两边除以 $b$ ， $b<0$ 时不等号反向），或用代表点检验
$\ge$ 、 $\le$ 包含边界， $>$ 、 $<$ 不包含

怎么用

画区域的固定动作：① 不等号换成等号，画出所有边界，求出边界的交点；② 每条边界定一侧（解出 $y$ 或代入代表点）；③ 取公共部分或并集；④ 写明边界含不含。只有一部分边界不含时，它与别的边界的交点也不含，图上画空心圆。最值题再加一步：令目标式 $=k$ ，画出直线或圆，平移或伸缩到最后接触区域的位置。

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