直线上与平面上的点

为什么是这样

数直线上 $A(a)$ 与 $B(b)$ 的距离是坐标之差，但不知道谁大，所以写成 $AB=|b-a|$。平面上把横向差 $x_2-x_1$ 和纵向差 $y_2-y_1$ 看成直角三角形的两条直角边，$AB$ 就是斜边，勾股定理直接给出距离公式。

把 $AB$ 以 $m:n$ 内分的点 $P$，是从 $A$ 出发走了全程的 $\dfrac{m}{m+n}$。所以 $P$ 的坐标是两端坐标的加权平均：$P$ 离哪一端近，哪一端的权重就大。$P$ 到 $A$ 占 $m$ 份、到 $B$ 占 $n$ 份，于是 $A$ 的权重是 $n$，$B$ 的权重是 $m$，分子写成 $na+mb$，系数是交叉的。中点是 $m=n$ 的特例。

外分是分点跑到线段外面：$Q$ 在直线 $AB$ 上、不在线段内，且 $QA:QB=m:n$。把内分公式的 $n$ 换成 $-n$ 就得到外分公式。$m>n$ 时 $Q$ 离 $B$ 更近，落在 $B$ 的外侧；$m<n$ 时落在 $A$ 的外侧；$m=n$ 时不存在。

重心是中线的 $2:1$ 内分点，算出来恰好是三个顶点坐标的平均。$P$ 与 $Q$ 关于点 $M$ 对称，就是 $M$ 为 $PQ$ 的中点。平行四边形的对角线互相平分，两条对角线的中点重合，求第四个顶点只用这一个条件。

定量表达

设 $A(x_1,\,y_1)$、$B(x_2,\,y_2)$。距离 $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，原点到 $A$ 的距离是 $\sqrt{x_1^2+y_1^2}$。内分点、外分点的 $x$ 坐标与 $y$ 坐标互不相干，各自套数直线上的公式，见下面的公式块。

$\triangle ABC$ 的重心是 $G\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\,\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$。$P(x_1,\,y_1)$ 与 $Q(x_2,\,y_2)$ 关于点 $(a,\,b)$ 对称，等价于 $\dfrac{x_1+x_2}{2}=a$ 且 $\dfrac{y_1+y_2}{2}=b$，由此 $Q(2a-x_1,\,2b-y_1)$。