教材 · 数学 Course 2 · 图形 · 图形与方程
两圆
2つの円
9 図形と方程式 ／ 円と直線の関係
一句话结论设半径 r、r′，圆心距 d：∣r−r′∣<d<r+r′ 交于两点，d=r+r′ 外切，d=∣r−r′∣ 内切。两圆方程（二次项系数都化成 1）相减得公共弦所在直线；kf+g=0 是过两交点的直线或圆。
两枚硬币在桌上互相靠近：先是互不相碰，接着外侧碰上一点，再靠近就交出两个点，小的一枚从里面贴住大的一枚，最后整个落进去。决定这五种状态的只有三个数：两个半径和圆心距。两圆相交时，两个交点又牵出一条公共弦和一族过交点的圆，这是本节的另一半。
为什么是这样
设两圆圆心 O、O′，半径 r≥r′。若 P 是公共点，则 OP=r、O′P=r′、OO′=d，三条线段拼成一个三角形。三角形拼得出来，要求任两边之和大于第三边，也就是 r−r′<d<r+r′：这正是交于两点的条件，两个交点关于连心线对称。三角形压扁成一条线段时 P 落在连心线上，只有一个公共点：d=r+r′ 是外切，d=r−r′ 是内切。d 再大或再小，三角形拼不出来，没有公共点。
公切线的条数也跟着变。外公切线从两圆同一侧擦过，只要小圆没有完全进入大圆就有两条；内公切线要从两圆之间穿过，必须两圆分开，外切时两条合成过切点的一条。所以相离 4 条、外切 3 条、相交 2 条、内切 1 条、内含 0 条。
公共弦从哪里来：两个圆的方程都写成 x2+y2+⋯=0，相减后二次项抵消，剩下一个一次方程。两个交点同时满足两个方程，当然满足它们的差，所以这条直线过两个交点，就是公共弦所在的直线。道理再推一步：对任何常数 k，kf+g=0 都被两个交点满足，它代表一族过两交点的图形。
定量表达
位置关系见下面的公式块，判断时只算圆心距 d，与 r+r′、∣r−r′∣ 比较。「交于两点」要同时写出 ∣r−r′∣<d 和 d<r+r′ 两个不等式，半径含参数时再加上半径为正。
过两交点的图形写成 kf+g=0（公式块见「怎么用」）。实际计算常用等价的写法 f+tℓ=0，其中 ℓ 是公共弦的一次式：圆加上直线的倍数，仍是过两交点的圆。代入题目给的第三个点就能定出 t，不用先求交点坐标。
同样的「两点满足同一个一次方程」也用在切点弦上。从圆 x2+y2=r2 外的点 (p,q) 引两条切线，切点 (x1,y1)、(x2,y2) 处的切线都过 (p,q)，所以 px1+qy1=r2、px2+qy2=r2：两个切点都在直线 px+qy=r2 上，它就是切点弦（这条直线叫极线）。求两圆的公切线，设一个圆上的切点 (x1,y1) 写出切线，再令另一个圆心到它的距离等于另一个半径。
怎么用
先判断问的是什么。只问位置关系、半径的范围或公切线条数，算圆心距比较，不联立；要交点坐标，两式相减得公共弦，再与其中一个圆联立；要过交点的直线或圆，用 kf+g=0 或 f+tℓ=0，代入已知点定常数。题目说「不论 k 取何值都过定点」，就把方程按 k 整理成 kA+B=0，令 A=0、B=0 联立。
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本节还有 7 部分，以及配套的真题和小测验。