直线方程与两直线关系

为什么是这样

斜率是「$x$ 增加 1 时 $y$ 增加多少」。在同一条直线上任取两点算这个比值，结果都一样（相似三角形），所以过 $(x_1,\,y_1)$、斜率为 $m$ 的直线上任一点都满足 $\dfrac{y-y_1}{x-x_1}=m$，去分母就是点斜式。与 $x$ 轴垂直的直线 $x$ 不变，斜率不存在，只能写成 $x=x_1$。

一般式 $ax+by+c=0$（$a$、$b$ 不同时为 0）装得下所有直线：$b\ne0$ 时有斜率 $-\dfrac ab$，$b=0$ 时是竖直线。含参数的题用一般式，就不怕参数取某个值时直线突然变成竖直、斜率不存在。

平行就是倾斜程度相同，斜率相等。垂直可以从「方向转 90°」看：方向「右 1、上 $m$」转 90° 后是「左 $m$、上 1」，斜率变成 $-\dfrac1m$，两斜率之积为 $-1$。对一般式，直线 $ax+by+c=0$ 的方向是「$x$ 走 $b$、$y$ 走 $-a$」，由此得到用系数写的平行、垂直条件，竖直线也包含在内。

两直线的公共点就是联立方程的解：恰有一组解是相交，无解是平行而不重合，有无数组解是重合。

定量表达

过两点 $(x_1,\,y_1)$、$(x_2,\,y_2)$ 的直线：$x_1\ne x_2$ 时斜率是 $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，再用点斜式；$x_1=x_2$ 时是 $x=x_1$。两种情况可以合写成 $(y_2-y_1)(x-x_1)-(x_2-x_1)(y-y_1)=0$。$x$ 截距为 $a$、$y$ 截距为 $b$（都不为 0）时，用截距式 $\dfrac xa+\dfrac yb=1$。

两直线的平行、垂直条件见下面的公式块。由它马上得到：过点 $(x_1,\,y_1)$ 与 $ax+by+c=0$ 平行的直线是 $a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$，垂直的直线是 $b(x-x_1)-a(y-y_1)=0$，不必先求斜率。