三角函数的图像

为什么是这样

单位圆上 $P$ 的纵坐标是 $\sin\theta$。$\theta$ 从 $0$ 增加到 $2\pi$，高度从 $0$ 升到 $1$、回到 $0$、降到 $-1$、再回到 $0$，之后每 $2\pi$ 重复一遍，这就是正弦曲线（正弦曲線）。$\cos\theta$ 是横坐标，波形一样，只是从最高点出发：$\cos\theta=\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)$，它是正弦曲线向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$。

$\tan\theta$ 是 $T$ 的纵坐标，$\theta$ 从 $-\dfrac{\pi}{2}$ 到 $\dfrac{\pi}{2}$ 时从负无穷升到正无穷，之后每隔 $\pi$ 重复。曲线越来越贴近直线 $\theta=\dfrac{\pi}{2}+n\pi$ 却永远碰不到，这些直线叫渐近线（漸近線）。

对所有 $\theta$ 都有 $f(\theta+p)=f(\theta)$ 的函数叫周期函数，最小的正数 $p$ 叫周期。$\sin$、$\cos$ 的周期是 $2\pi$；$\tan$ 是 $\pi$，因为 $P$ 转半圈到对称点，OP 的斜率不变。$f(-\theta)=-f(\theta)$ 的叫奇函数，图像关于原点对称；$f(-\theta)=f(\theta)$ 的叫偶函数，关于 $y$ 轴对称。$\sin$、$\tan$ 是奇函数，$\cos$ 是偶函数。

定量表达

变形规则和二次函数的平移同理：$\theta$ 换成 $\theta-p$，图像沿 $\theta$ 轴平移 $p$；整体加 $c$，沿 $y$ 轴平移 $c$；乘 $a$，纵向伸缩为 $|a|$ 倍；$\theta$ 换成 $k\theta$，横向伸缩为 $\dfrac{1}{|k|}$ 倍。最后一条最易弄反：$y=\sin2\theta$ 里 $\theta$ 走到 $\pi$，$2\theta$ 就走完 $2\pi$，波被压窄一半。所以 $y=\sin k\theta$、$y=\cos k\theta$ 的周期是 $\dfrac{2\pi}{|k|}$，$y=\tan k\theta$ 的是 $\dfrac{\pi}{|k|}$。

合起来，$y=a\sin(k\theta-b)+c$ 要先提出 $\theta$ 的系数，写成 $a\sin k\left(\theta-\dfrac{b}{k}\right)+c$：周期 $\dfrac{2\pi}{|k|}$，沿 $\theta$ 轴平移 $\dfrac{b}{k}$ 而不是 $b$，上下在 $c-|a|$ 与 $c+|a|$ 之间摆动。