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教材 · 数学 Course 2 · 函数 · 三角函数

三角方程与不等式

三角関数を含む方程式・不等式

11 三角関数 ／ 三角関数とその基本的な性質
一句话结论

解三角方程就是在单位圆上读角：sin⁡θ=a\sin\theta=a 看水平线 y=ay=a，cos⁡θ=a\cos\theta=a 看竖直线 x=ax=a，tan⁡θ=a\tan\theta=a 看过原点、斜率为 aa 的直线。不等式读的是线一侧的那段弧。换元时把角的范围一起换掉；化成 t=sin⁡θt=\sin\theta 或 t=cos⁡θt=\cos\theta 时带上 −1≤t≤1-1\le t\le1；数解的个数时，t=±1t=\pm1 只对应一个 θ\theta。

单位圆（単位円）上，角 θ\theta 的终边与圆的交点，纵坐标是 sin⁡θ\sin\theta，横坐标是 cos⁡θ\cos\theta。所以 sin⁡θ=12\sin\theta=\dfrac12 问的是：圆上哪些点的高度是 12\dfrac12？画一条水平线，交点就是答案。EJU 的三角函数大题几乎都要走到这一步：先化成只含一种三角函数，再回到单位圆上读角。

为什么是这样

sin⁡θ=a\sin\theta=a 是水平线 y=ay=a 与单位圆的交点，两点关于 yy 轴对称，角是 α\alpha 和 π−α\pi-\alpha。cos⁡θ=a\cos\theta=a 是竖直线 x=ax=a 与圆的交点，两点关于 xx 轴对称，角是 ±α\pm\alpha。tan⁡θ=a\tan\theta=a 是终边的斜率：直线 OTOT（T(1, a)T(1,\,a)）穿过圆上相对的两点，两角相差 π\pi。

对称方式不同，「另一个解」的写法就不同，这是本节最该记牢的地方。a=±1a=\pm1 时线与圆相切，只有一个解；∣a∣>1|a|>1 时无解。不等式读的是线一侧的弧，如 sin⁡θ>12\sin\theta>\dfrac12 是高于 y=12y=\dfrac12 的那段弧。所以总是两步：先换成等号求出边界角，再看要哪一段弧。

单位圆上解三角方程：正弦看水平线、余弦看竖直线、正切看过原点的直线sin θ = a：水平线 y = aπ − ααθ = α，π − α两点关于 y 轴对称粗弧：sin θ > acos θ = a：竖直线 x = a−ααθ = ±α两点关于 x 轴对称粗弧：cos θ < atan θ = a：过原点的直线T(1, a)α + παθ = α，α + π直线 OT 穿过圆上相对两点T(1, a) 在直线 x = 1 上

定量表达

不限范围的全部解叫一般解（一般解），见下面的公式块。sin⁡\sin、cos⁡\cos 的周期是 2π2\pi，加 2nπ2n\pi；tan⁡\tan 的两个解本来就相差 π\pi，合起来加 nπn\pi。

角是 2θ−π32\theta-\dfrac{\pi}{3} 这类式子时，令它为 tt，先换算 tt 的范围：0≤θ<2π0\le\theta<2\pi 时 −π3≤t<113π-\dfrac{\pi}{3}\le t<\dfrac{11}{3}\pi，绕了将近两圈，解也多一倍。在这个范围里解出 tt，再还原成 θ\theta。

同时有 sin⁡\sin 和 cos⁡\cos 时，用 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 化成一种，令 t=cos⁡θt=\cos\theta（或 sin⁡θ\sin\theta），就成了 tt 的二次式，但要带上 −1≤t≤1-1\le t\le1：范围外的根舍去，不等式里恒正的因式可以先约掉。

sin⁡θ=a ⟹ θ=α+2nπ,  (π−α)+2nπcos⁡θ=a ⟹ θ=±α+2nπtan⁡θ=a ⟹ θ=α+nπ\begin{aligned}\sin\theta=a\ &\Longrightarrow\ \theta=\alpha+2n\pi,\ \ (\pi-\alpha)+2n\pi\\\cos\theta=a\ &\Longrightarrow\ \theta=\pm\alpha+2n\pi\\\tan\theta=a\ &\Longrightarrow\ \theta=\alpha+n\pi\end{aligned}
θ\theta
要求的角（弧度）
aa
给定的值
α\alpha
方程的任意一个解，通常取 0≤α<2π0\le\alpha<2\pi 里最小的那个
nn
任意整数（日文写「nn は整数」）
适用条件
  • sin⁡θ=a\sin\theta=a、cos⁡θ=a\cos\theta=a 要求 −1≤a≤1-1\le a\le1，∣a∣>1|a|>1 时无解；a=±1a=\pm1 时两个解重合，只剩一个
  • tan⁡θ=a\tan\theta=a 对任意实数 aa 都有解，但 θ≠π2+nπ\theta\ne\dfrac{\pi}{2}+n\pi（这些角上正切没有定义）
  • 题目限定范围（如 0≤θ<2π0\le\theta<2\pi）时，从一般解里挑出落在范围里的那几个

怎么用

按三步走：① 化成一种三角函数并换元，写出新变量的范围；② 在范围里解方程、不等式或求最值，用的是二次函数一章的方法；③ 回到单位圆还原成 θ\theta，求最值时写出取到它的 θ\theta。

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