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教材 · 数学 Course 2 · 函数 · 三角函数

加法定理及其应用

加法定理とその応用

11 三角関数 ／ 三角関数の加法定理11 三角関数 ／ 加法定理の応用
一句话结论

只需背两条：sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta，cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta。差角、正切、二倍角、半角、三倍角都是它们代换出来的。解题时先统一角、再统一函数；由一个三角函数值求另一个时，正负号看象限。

sin⁡30∘\sin30^\circ、sin⁡45∘\sin45^\circ 你都会，sin⁡75∘\sin75^\circ 呢？75∘=30∘+45∘75^\circ=30^\circ+45^\circ，但 sin⁡75∘\sin75^\circ 不等于 sin⁡30∘+sin⁡45∘\sin30^\circ+\sin45^\circ：后者约为 1.211.21，比 11 还大。角相加时三角函数怎样变化，答案就是加法定理（加法定理）。二倍角、半角、下一节的合成，全从它推出来。

为什么是这样

单位圆上取 A(cos⁡α, sin⁡α)A(\cos\alpha,\,\sin\alpha)、B(cos⁡β, sin⁡β)B(\cos\beta,\,\sin\beta)，把整个图绕原点转 −β-\beta：BB 到 B′(1, 0)B'(1,\,0)，AA 到 A′(cos⁡(α−β), sin⁡(α−β))A'(\cos(\alpha-\beta),\,\sin(\alpha-\beta))。转动不改变长度，AB=A′B′AB=A'B'。两边用距离公式平方展开（见图右），就得到 cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta。

其余都由它推出：β\beta 换成 −β-\beta 得 cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta)，借 sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) 得 sin⁡(α±β)\sin(\alpha\pm\beta)，相除得正切，令 β=α\beta=\alpha 得二倍角，倒解二倍角得半角。所以真正要背的只有两条。

加法定理的来历：把弦 AB 绕原点转到 A′B′，长度不变α−βα−βA(cos α, sin α)B(cos β, sin β)A′B′(1, 0)O① ∠AOB = α − β② 整体绕 O 转 −β：　B → B′(1, 0)　A → A′(cos(α−β), sin(α−β))③ 转动不改变长度：AB = A′B′④ 两边用距离公式平方：　2 − 2(cos α cos β + sin α sin β)　= 2 − 2cos(α − β)⇒ cos(α−β) = cos α cos β + sin α sin β

定量表达

加法定理见下面公式块，±\pm、∓\mp 上下对应（複号同順）。记符号的办法：sin⁡\sin 的展开交叉相乘，符号与左边相同；cos⁡\cos 的展开同名相乘，符号与左边相反。

二倍角公式（2倍角の公式）里 cos⁡2α\cos2\alpha 有三种写法，要会挑：式中另有 sin⁡θ\sin\theta 就用 1−2sin⁡2θ1-2\sin^2\theta，另有 cos⁡θ\cos\theta 就用 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta-1，整个式子只剩一种函数。由后两种写法解出平方得半角公式，它也用来降次；三倍角、积化和差、和差化积见本节公式一览。

两直线 y=m1x+n1y=m_1x+n_1、y=m2x+n2y=m_2x+n_2 与 xx 轴正方向成角 α\alpha、β\beta，则 tan⁡α=m1\tan\alpha=m_1，tan⁡β=m2\tan\beta=m_2，夹角的正切就是 tan⁡(β−α)\tan(\beta-\alpha)。结果为负说明是钝角，取绝对值得锐角；m1m2=−1m_1m_2=-1 时两直线垂直。

只背两条加法定理，其余公式都由代换推出加法定理（只背这两条）sin(α+β)　cos(α+β)β 换成 −β差角公式正弦 ÷ 余弦tan(α ± β)令 β = α二倍角公式两式相加、相减积化和差 ⇄ 和差化积3α = 2α + α三倍角公式倒解 cos 2α 的平方半角公式（降次）加法定理倒过来读，二次式先降次合成 a sin θ + b cos θ（下一节）
sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡βcos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡βtan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\begin{aligned}\sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\\\cos(\alpha\pm\beta)&=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\\\tan(\alpha\pm\beta)&=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\end{aligned}
α, β\alpha,\ \beta
任意两个角
±, ∓\pm,\ \mp
同一行里上面的符号一起取、下面的符号一起取（複号同順）
适用条件
  • 正弦、余弦两行对一切 α\alpha、β\beta 成立
  • 正切一行要求 tan⁡α\tan\alpha、tan⁡β\tan\beta 有定义且分母不为 00
  • 只需背「++」的两行（sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta)、cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta)），把 β\beta 换成 −β-\beta 就得到「−-」的一行

怎么用

求值：把角拆成 30∘30^\circ、45∘45^\circ、60∘60^\circ 的和或差，如 15∘=45∘−30∘15^\circ=45^\circ-30^\circ。已知 sin⁡α\sin\alpha 求 sin⁡2α\sin2\alpha 时先求 cos⁡α\cos\alpha，正负号看 α\alpha 的象限。只给 sin⁡α+sin⁡β\sin\alpha+\sin\beta、cos⁡α+cos⁡β\cos\alpha+\cos\beta 时，两式平方相加得 2+2cos⁡(α−β)2+2\cos(\alpha-\beta)。

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