一般角与弧度法

为什么是这样

让射线 OP 绕点 O 转。起始位置 OX 叫始线（始線），转动的射线叫动径（動径）；逆时针转得正角，顺时针转得负角，每多转一圈多 $360^\circ$。所以 $30^\circ$、$390^\circ$、$-330^\circ$ 的动径重合。反过来，动径的位置只能把角定到「差 $360^\circ$ 的整数倍」：与 $\alpha$ 动径相同的角是 $\theta=\alpha+360^\circ\times n$（$n$ 为整数），叫动径表示的一般角。

始线放在 $x$ 轴正半轴上，动径在第几象限就叫第几象限的角；动径落在坐标轴上时不属于任何象限。判断时让 $0^\circ\le\alpha<360^\circ$，只看 $\alpha$，就像整数除法求余数，负角的余数也要落在这个范围里：$-480^\circ=240^\circ+360^\circ\times(-2)$，是第三象限的角。

同一个圆心角，圆越大弧越长，但弧长与半径之比不变，因为图形只是放大了。所以拿这个比来量角：弧长等于半径时的圆心角叫 1 弧度（1ラジアン），这种量法叫弧度法。整圆的比是 $2\pi$，所以 $360^\circ=2\pi$，$180^\circ=\pi$，1 弧度约 $57.3^\circ$。弧度的单位通常省略，$\theta=2$ 就是 2 弧度。

定量表达

换算只靠 $\pi=180^\circ$：度化弧度乘 $\dfrac{\pi}{180}$，如 $72^\circ=\dfrac25\pi$；弧度化度把 $\pi$ 换成 $180^\circ$，如 $-\dfrac76\pi=-210^\circ$。常用角列在下面的表里，要做到一眼认出。一般角也写成 $\theta=\alpha+2n\pi$。

扇形的弧长、面积都与中心角成正比：中心角 $2\pi$ 对应周长 $2\pi r$、面积 $\pi r^2$，所以中心角 $\theta$ 对应 $l=r\theta$、$S=\dfrac12r^2\theta=\dfrac12rl$。最后一式和三角形的「底×高÷2」同形：把扇形看成底为弧长、高为半径的三角形。这里的 $\theta$ 必须是弧度；用度数就得写成 $l=2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$，这正是改用弧度的好处。