常用对数

为什么是这样

任何正数都能写成科学记数法 $N=a\times10^n$（$1\le a<10$，$n$ 是整数）。取常用对数得 $\log_{10}N=n+\log_{10}a$，其中 $0\le\log_{10}a<1$。所以整数部分 $n$ 决定小数点的位置，小数部分 $\log_{10}a$ 决定数字本身。$\log_{10}7310$ 与 $\log_{10}0.0731$ 就是 $\log_{10}7.31$ 加 3、减 2，所以常用对数表只需列 1 到 10 之间的数。

整数部分是 $k$ 位，即 $10^{k-1}\le N<10^k$（三位数在 100 与 1000 之间），对数在 $k-1$ 与 $k$ 之间，所以位数比对数的整数部分多 1。$0.0052$ 的第一个非零数字在小数第 3 位，它在 $10^{-3}$ 与 $10^{-2}$ 之间，对数约为 $-2.28$：负数要往小取整，第 3 位来自 $-3$，不是 $-2$。

首位数字看小数部分：小数部分落在 $\log_{10}2=0.3010$ 与 $\log_{10}3=0.4771$ 之间，说明 $a$ 在 2 与 3 之间，首位是 2。4、6、8、9 的对数由 2 和 3 组合，$\log_{10}5=1-\log_{10}2$，$\log_{10}7$ 由题目给出。

定量表达

需要的对数都由已知值拼出来：把真数拆成 2、3、5、7 与 10 的乘方。例如 $\log_{10}0.06=\log_{10}(2\cdot3\cdot10^{-2})=-1.2219$，$\log_{10}\sqrt[3]{45}=\dfrac13(2\log_{10}3+1-\log_{10}2)\approx0.5511$，其中 5 写成 $\dfrac{10}{2}$。

这些值都是近似值。$\log_{10}2$ 是无理数：若 $\log_{10}2=\dfrac mn$（$m$、$n$ 为正整数），则 $2^n=10^m$，右边有因数 5，左边没有，矛盾。反过来也能估计它：$2^{10}=1024>10^3$，取对数得 $\log_{10}2>0.3$。所以算出的结果只用来判断夹在哪两个整数之间。