对数函数

为什么是这样

$b=2^a$ 与 $a=\log_2b$ 是同一句话，所以 $(a,\,b)$ 在 $y=2^x$ 上，$(b,\,a)$ 就在 $y=\log_2x$ 上，交换横纵坐标就是关于 $y=x$ 对称。性质跟着翻过来：$y=a^x$ 过 $(0,\,1)$、以 $x$ 轴为渐近线、值域是正数；$y=\log_ax$ 就过 $(1,\,0)$ 和 $(a,\,1)$、以 $y$ 轴为渐近线、定义域是正数，值域是全体实数。

增减也照搬：$a>1$ 时两者都单调增加，$0<a<1$ 时都单调减少。于是 $a>1$ 时 $0<x<1$ 的部分在 $x$ 轴下方，$x>1$ 的部分在上方；$0<a<1$ 时正负对调。又因为 $\log_{\frac1a}x=-\log_ax$，底互为倒数的两条对数曲线关于 $x$ 轴对称，而 $y=a^x$ 与 $y=\left(\frac1a\right)^x$ 是关于 $y$ 轴对称，两者别弄混。

单调带来两条推论：函数值相等当且仅当真数相等；底大于 1 时真数大的对数大，底在 0 与 1 之间时真数大的对数反而小。对数方程和不等式就靠这两条去掉 $\log$。

定量表达

平移与对称和二次函数相同：$y=\log_a(x-p)+q$ 是 $y=\log_ax$ 向右移 $p$、向上移 $q$，渐近线变成 $x=p$。式子不像这个样子时，先用对数的性质改写：$\log_3(9x-18)=\log_3(x-2)+2$ 是平移；$\log_3\dfrac1x=-\log_3x$ 是关于 $x$ 轴对称；$\log_3(-x)$ 是关于 $y$ 轴对称；底不同的如 $\log_9x=\dfrac12\log_3x$，先用换底公式统一底再比较。

解方程和不等式的顺序固定：① 写真数条件（底里有未知数时再加「底 $>0$ 且 $\ne1$」）；② 用对数的性质和换底公式，把两边化成同底的单个对数；③ 去掉 $\log$，方程让真数相等，不等式按下面的公式块决定是否变向；④ 与 ① 取公共部分。① 一定写在变形之前：$\log_2x+\log_2(x-3)$ 合并成 $\log_2x(x-3)$ 后，$x<0$ 也能让真数为正，范围被悄悄放大了。