指数的扩张

为什么是这样

把 $2$ 的乘方排成一列，指数每减 $1$，值就除以 $2$（见图）。顺着规律往左走，$2^0$ 只能是 $1$，接着是 $2^{-1}=\dfrac12$、$2^{-2}=\dfrac14$。用法则说也一样：要 $a^m\cdot a^0=a^m$，必须 $a^0=1$；要 $a^m\cdot a^{-m}=a^0=1$，必须 $a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}$。底为 $0$ 时要除以 $0$，所以 $0^0$、$0^{-n}$ 不定义。

分数指数同理：要 $\left(a^{\frac13}\right)^3=a$，$a^{\frac13}$ 就得是三次方等于 $a$ 的数。$n$ 次方等于 $a$ 的数叫 $a$ 的 $n$ 次方根，实数里有几个，看 $y=x^n$ 与水平线 $y=a$ 有几个交点：$n$ 为奇数时恰好一个，$a<0$ 也有；$n$ 为偶数时 $a>0$ 有正负两个，$a=0$ 只有 $0$，$a<0$ 没有。

记号 $\sqrt[n]{a}$ 只指其中一个：奇数次是唯一的实根，偶数次是正的那个。所以「$16$ 的四次方根」是 $\pm2$，$\sqrt[4]{16}$ 却只等于 $2$。

无理数指数用逼近定义：$2^{1.4}$、$2^{1.41}$、$2^{1.414}$……靠近的那个数就是 $2^{\sqrt2}$。于是 $a>0$ 时 $a^x$ 对一切实数 $x$ 有意义。

定量表达

整数指数（$a\ne0$）：$a^0=1$，$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$。有理数指数（$a>0$）：$a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$。三条指数法则见公式块。根号的运算法则（公式一览第三条）只是它们换了个写法，如 $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ 就是 $a^{\frac1n}b^{\frac1n}=(ab)^{\frac1n}$，记不住就换回指数。

分数指数为什么要求底为正：否则 $(-8)^{\frac13}=-2$，而 $\dfrac13=\dfrac26$，$(-8)^{\frac26}=\sqrt[6]{64}=2$，同一个数算出两个值。负数只开奇数次方根，先用 $\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}$ 把负号提出来，如 $\sqrt[3]{-24}=-2\sqrt[3]{3}$。