对数及其性质

为什么是这样

指数函数 $y=a^x$ 单调，值域是全体正数，所以对每个正数 $M$，满足 $a^p=M$ 的 $p$ 恰好有一个。在图上就是从 $y$ 轴的 $M$ 横走到曲线、再落到 $x$ 轴读出 $p$（见图）。这个 $p$ 记作 $\log_aM$，$M$ 叫真数。$M\le0$ 时横线碰不到曲线，所以真数必须为正；底的条件也原样来自指数函数。

由定义，$\log_aa^p=p$（于是 $\log_aa=1$，$\log_a1=0$）；反过来 $a^{\log_aM}=M$，因为 $\log_aM$ 正是使 $a$ 的乘方等于 $M$ 的次数。

运算法则全是指数法则的翻译。设 $M=a^p$，$N=a^q$，由 $MN=a^{p+q}$、$\dfrac MN=a^{p-q}$、$M^k=a^{kp}$，立刻得到 $\log_aMN=p+q$、$\log_a\dfrac MN=p-q$、$\log_aM^k=kp$。在第二张图的对数刻度上，乘 $8$ 就是向右走 $3$ 格。

换底公式也一样推出：设 $\log_ab=p$，即 $a^p=b$，两边取以 $c$ 为底的对数，$p\log_ca=\log_cb$，所以 $p=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$，任何底都能统一。

定量表达

定义（$a>0$，$a\ne1$，$M>0$）：$a^p=M\iff p=\log_aM$。法则见公式块，推论有 $\log_a\dfrac1N=-\log_aN$，$\log_a\sqrt[n]{M}=\dfrac1n\log_aM$。

换底公式 $\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$ 有两个推论最常用：取 $c=b$ 得 $\log_ab=\dfrac{1}{\log_ba}$；首尾相接的乘积约成一个，$\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac$，例如 $\log_23\cdot\log_35\cdot\log_516=\log_216=4$。