指数函数

为什么是这样

上一节让 $a^x$ 对一切实数 $x$ 有意义（$a>0$）。把它看成函数 $y=a^x$，叫以 $a$ 为底的指数函数；底为 $1$ 时恒等于 $1$，所以规定 $a\ne1$。以 $y=2^x$ 为例，每向右一格翻一倍；向左每格减半，$\dfrac12$、$\dfrac14$、$\dfrac18$……越来越贴近 $x$ 轴却碰不到。所以 $x$ 轴是渐近线，$a^x$ 总是正数。

任何底的图像都过 $(0,\,1)$ 和 $(1,\,a)$。$a>1$ 时右上升，底越大越陡；$0<a<1$ 时每格乘一个小于 $1$ 的数，右下降。$y=\left(\dfrac12\right)^x=2^{-x}$ 是把 $x$ 换成 $-x$，所以它与 $y=2^x$ 关于 $y$ 轴对称（见图）。

单调是本节一切方法的根：不同的指数给出不同的值，$a^p=a^q$ 就意味着 $p=q$；$a>1$ 时大小顺序不变，$0<a<1$ 时顺序反过来。所以只要两边化成同一个底，指数的比较、方程、不等式就变成指数之间普通的比较、方程、不等式。

定量表达

$y=a^x$（$a>0$，$a\ne1$）的定义域是全体实数，值域是 $y>0$；单调性见公式块。图像的移动照二次函数：$y=a^{x-p}+q$ 是沿 $x$ 轴平移 $p$、沿 $y$ 轴平移 $q$，渐近线变成 $y=q$；$y=a^{-x}$ 关于 $y$ 轴对称，$y=-a^x$ 关于 $x$ 轴对称。如 $y=\left(\dfrac13\right)^{x+1}=3^{-(x+1)}$，是 $y=3^x$ 关于 $y$ 轴对称后再向左平移 $1$。

比较大小有两条路。底能统一就比指数：$\dfrac{1}{\sqrt3}=3^{-\frac12}$，$\sqrt[3]{9}=3^{\frac23}$，底 $3>1$，指数 $-\dfrac12<\dfrac23<0.7$，所以 $\dfrac{1}{\sqrt3}<\sqrt[3]{9}<3^{0.7}$。底统一不了就同时乘方，把指数变成整数再比底：$\sqrt[3]{3}$ 与 $\sqrt[4]{4}$ 同乘 $12$ 次方得 $81$、$64$，所以 $\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}$（正数 $a<b\iff a^n<b^n$）。