二次函数的决定

2次関数の決定

3 2次関数／ 2次関数の決定

一句话结论

二次函数有三个系数，要三个条件来定。能写进式子形状的条件就写进去：顶点或轴已知用顶点式 $y=a(x-p)^2+q$ ，与 $x$ 轴的交点已知用两根式 $y=a(x-\alpha)(x-\beta)$ ，只有普通的点才用一般式 $y=ax^2+bx+c$ 解方程组。

给你抛物线的几条线索——顶点在哪、经过哪几点、和 $x$ 轴交在哪——让你写出它的式子，这就是二次函数的决定（2次関数の決定）。EJU 的二次函数大题常从这一步开头，式子一错，后面的顶点、最大最小、交点全跟着错。难点不在计算，而在第一步：选哪种形状的式子。

为什么是这样

$y=ax^2+bx+c$ 有 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 三个待定的数，正如三个未知数要三个方程，确定一条抛物线需要三个彼此独立的条件。每条线索都折算成条件：经过点 $(s,t)$ 就是 $t=as^2+bs+c$ ，算一个；顶点 $(p,q)$ 横、纵坐标各一个，算两个；轴 $x=p$ 算一个；与 $x$ 轴的两个交点算两个。

三种式子的区别在于能「预装」多少条件。顶点式把顶点直接写进形状，只剩 $a$ ；两根式把两个交点写进形状，也只剩 $a$ ；一般式什么都没装，三个数全靠列方程。所以选式子只看一条：让已知条件尽量写进形状，剩下的未知数越少，要解的方程越少。

藏在文字里的条件也要会数。「由 $y=2x^2$ 平行移动得到」等于给出 $a=2$ ，因为平移只搬动位置、不改开口；「与 $x$ 轴相切」说明顶点在 $x$ 轴上， $q=0$ ；「顶点在直线 $y=2x+1$ 上」给出 $q=2p+1$ ，把两个未知数并成一个；「 $f(1)=f(5)$ 」说明这两点关于轴对称，轴是 $x=3$ 。

定量表达

按已知条件选起点。顶点 $(p,q)$ 已知：设顶点式，再用 1 个点求 $a$ 。只知道轴 $x=p$ ：仍设顶点式， $a$ 、 $q$ 两个未知数，要 2 个点。与 $x$ 轴交于 $(\alpha,0)$ 、 $(\beta,0)$ ：设两根式，再用 1 个点。只有 3 个普通点：设一般式，列三元一次方程组。

三点代入一般式，每个方程里 $c$ 的系数都是 $1$ ，两两相减就消掉 $c$ ，剩下只含 $a$ 、 $b$ 的两个方程；再消去一个，得到一元方程，最后回代：三元化二元，二元化一元。

「最大值是 $M$ 」其实是两个信息：顶点的纵坐标是 $M$ ，而且 $a<0$ （最小值则 $a>0$ ）。若题目给的是区间上的最大值和最小值，而 $a$ 的符号未知，就要按 $a>0$ 、 $a<0$ 分开算——开口方向不同，最大最小落在哪里也不同——算完再检查结果是否符合所设的符号。

\begin{aligned} &y=ax^2+bx+c \\ &y=a(x-p)^2+q \\ &y=a(x-\alpha)(x-\beta) \end{aligned}

$x,\ y$: 自变量与函数值；「经过点 $(s,t)$ 」就是把 $x=s$ 、 $y=t$ 代入
$a$: $x^2$ 的系数，三种式子里是同一个数，决定开口方向和宽窄
$b,\ c$: 一般式的另两个系数， $c$ 是图像与 $y$ 轴交点的纵坐标
$p,\ q$: 顶点坐标 $(p,q)$ ；轴是直线 $x=p$
$\alpha,\ \beta$: 图像与 $x$ 轴交点的横坐标，即方程 $ax^2+bx+c=0$ 的实数解

适用条件

$a\neq0$ ，否则不是二次函数
第 1 行一般式：只知道普通的点时用，3 个点得三元一次方程组
第 2 行顶点式：已知顶点、轴、最大值或最小值时用
第 3 行两根式：只在已知与 $x$ 轴的交点时用， $\alpha$ 、 $\beta$ 必须是 $y=0$ 的点

答案停在

y=-2(x-2)^2+18

这样的顶点式也算对。EJU 答题卡按卷面印好的形状填，卷面是一般式就展开后对齐系数。

怎么用

EJU 常见三种问法：直接给条件求式子；先给出带字母的式子（如 $y=x^2+ax+b$ ），再给条件求 $a$ 、 $b$ ；或者先求式子，接着问顶点、最大最小值、与坐标轴的交点。哪一种都先做同一件事：数条件、选形状。

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