图像与 x 轴、直线的交点

グラフと x 軸の共有点

3 2次関数／ 2次関数のグラフと2次方程式

一句话结论

图像与 $x$ 轴的公共点 = 方程 $ax^2+bx+c=0$ 的实数解，个数看判别式 $D$ 。与直线的公共点先消去 $y$ ，看新方程的判别式： $D>0$ 交于两点， $D=0$ 相切， $D<0$ 没有公共点；「有公共点」是 $D\ge0$ 。

抛物线和 $x$ 轴的交点，横坐标正是令 $y=0$ 时方程的解——上一节问的「有几个实数解」，在图上就是「碰到 $x$ 轴几次」。同样的想法换成任意一条直线也成立。EJU 二次函数大题里的「x軸と異なる2点で交わる」「接する」「切り取る線分の長さ」，几乎每年出现，靠的都是这一句话。

为什么是这样

$x$ 轴上的点纵坐标都是 $0$ 。所以 $y=ax^2+bx+c$ 的图像与 $x$ 轴的公共点（共有点），横坐标就是方程 $ax^2+bx+c=0$ 的实数解；公共点有几个，实数解就有几个，由判别式 $D=b^2-4ac$ 的符号决定。

从图像看更直接。配方得顶点 $\left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{D}{4a}\right)$ 。 $a>0$ 时开口向上：顶点在 $x$ 轴下方（ $D>0$ ），曲线穿过 $x$ 轴两次；顶点恰好在 $x$ 轴上（ $D=0$ ），只碰一下，叫与 $x$ 轴相切（接する），那一点叫切点（接点），就是顶点；顶点在上方（ $D<0$ ），够不着。 $a<0$ 时开口和顶点的位置同时上下颠倒，结论不变：交点个数只看 $D$ 的正负，与开口方向无关。

抛物线与直线 $y=mx+n$ 也一样。公共点要同时满足两个式子，联立消去 $y$ ，得到另一个二次方程，它的实数解就是公共点的横坐标，它的判别式决定公共点个数。换个角度，这等于看差 $y=f(x)-g(x)$ 的图像和 $x$ 轴有几个交点，问题就回到了上一段。

定量表达

求公共点的坐标：与 $x$ 轴，解 $ax^2+bx+c=0$ 得横坐标，纵坐标都是 $0$ ；与直线，解消元后的方程得横坐标，再代入直线方程求纵坐标，比代入抛物线省事。相切时方程有重解，切点横坐标就是那个重解。

截得线段长是两个交点横坐标之差 $\beta-\alpha$ 。能因式分解就直接相减；交点含参数、大小关系不明时写成绝对值，例如交点是 $1$ 和 $2k$ 、线段长为 $5$ ，就得 $\lvert 2k-1\rvert=5$ ， $k=3$ 或 $k=-2$ 。分解不了时用公式块：两根相减得 $\dfrac{\sqrt{D}}{\lvert a\rvert}$ 。

参数只在常数项时，可以换个看法： $x^2-2x+3=k$ 的实数解个数，等于抛物线 $y=x^2-2x+3$ 与水平直线 $y=k$ 的公共点个数。抛物线不动、直线上下平移，顶点 $(1,\,2)$ 是分界： $k>2$ 两个， $k=2$ 一个， $k<2$ 没有。这种把参数单独放一边的看法，「解的分布」一节还会再用。

\beta-\alpha=\dfrac{\sqrt{D}}{\lvert a\rvert}=\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{\lvert a\rvert}

$\alpha,\ \beta$: 图像与 $x$ 轴两个交点的 $x$ 坐标（ $\alpha<\beta$ ），即 $ax^2+bx+c=0$ 的两个实数解
$\beta-\alpha$: 图像在 $x$ 轴上截得的线段长（x軸から切り取る線分の長さ）
$D$: 判别式 $b^2-4ac$
$a$: $x^2$ 的系数
$b$: $x$ 的系数
$c$: 常数项

适用条件

$D>0$ （与 $x$ 轴交于两点）时才有这条线段
由求根公式两根相减： $\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}-\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{\sqrt{D}}{a}$ ， $a<0$ 时大小颠倒，所以取 $\lvert a\rvert$
两根能因式分解求出时，直接相减更快

怎么用

EJU 的问法和条件一一对应：「x軸と異なる2点で交わる」写 $D>0$ ；「x軸に接する」写 $D=0$ ，切点是顶点；「共有点をもつ」写 $D\ge0$ ，相切也算；「共有点をもたない」写 $D<0$ 。换成直线时问法相同，只是 $D$ 要用消去 $y$ 之后的方程来算。

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