集合与元素个数

集合と要素の個数

2 集合と命題／集合

一句话结论

两个集合把全体切成四块，交集、并集、补集都是其中几块的组合；数并集时重叠部分被数了两遍，要减掉一次： $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ 。补集的横线拆开时 $\cap$ 与 $\cup$ 互换（德摩根定律）。

EJU 的集合题有两副面孔：一种用不等式或倍数描述一批数，问交集、并集、补集；另一种给出问卷的人数，问「两样都选的有几人」。两种题背后是同一张图：两个圈把全体切成四块。把题目的话翻译成「哪几块」，再数出每块有几个，这一节就学完了。

为什么是这样

集合（集合）是范围明确的一批对象：任给一个东西，都能判断它在不在里面。「大的数」构不成集合，「小于 $10$ 的正奇数」可以。里面的对象叫元素（要素）， $a$ 属于 $A$ 写 $a\in A$ ，不属于写 $a\notin A$ 。可以逐个列举，如 $\{1,3,5,7,9\}$ ；也可以写条件，如 $\{2n-1\mid n=1,2,3,4,5\}$ 。元素太多时用省略号： $\{2,4,6,\cdots\}$ 。

$A$ 的元素全都属于 $B$ ， $A$ 就是 $B$ 的子集（部分集合），记 $A\subset B$ ；同时 $B\subset A$ 时 $A=B$ 。 $\in$ 连接元素与集合， $\subset$ 连接集合与集合： $1\in\{1,2\}$ ， $\{1\}\subset\{1,2\}$ 。没有元素的空集（空集合） $\varnothing$ 是任何集合的子集。

先定好全体集合（全体集合） $U$ ，两个圈 $A$ 、 $B$ 把它切成四块：只在 $A$ 、两个都在、只在 $B$ 、两个都不在。交集（共通部分） $A\cap B$ 是中间那块，并集（和集合） $A\cup B$ 是前三块，补集（補集合） $\overline A$ 是 $U$ 中 $A$ 以外的部分。 $A\cup B$ 外面只剩「两个都不在」： $\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$ ；不在中间那块，就是至少不在一个圈里： $\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$ 。这就是德摩根定律（ド・モルガンの法則）。

记号和叫法与国内教材不同：日本的

A\subset B

包括

A=B

，相当于国内的

\subseteq

；补集写成

\overline A

，不写

\complement_U A

。EJU 题干里的「共通部分」「和集合」「補集合」「要素の個数」就是交集、并集、补集、元素个数。

定量表达

有限集合 $A$ 的元素个数记作 $n(A)$ 。先数 $A$ 再数 $B$ ，重叠的 $A\cap B$ 被数了两遍，减掉一次就是公式块。同样， $n(\overline A)=n(U)-n(A)$ ， $n(A\cap\overline B)=n(A)-n(A\cap B)$ 。三个集合的公式见公式一览：多算的减掉，减多的加回。

已知 $n(U)$ 、 $n(A)$ 、 $n(B)$ 求 $n(A\cap B)$ 的范围时，把两个圈推来推去看：小圈整个放进大圈时重叠最多，等于较小的那个个数；两圈尽量分开，但 $U$ 装不下时被迫重叠，最少是 $n(A)+n(B)-n(U)$ （这个数为负时最少是 $0$ ）。

实数的集合画在数轴上： $\{x\mid -1<x\le3\}$ 是一段线，取到的端点画实心点，取不到的画空心点。重叠部分是交集，合起来是并集，补集是这段以外的两条射线。

n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)

$n(X)$: 有限集合 $X$ 的元素个数， $n(\varnothing)=0$
$A,\ B$: 全体集合 $U$ 的两个有限子集
$A\cap B$: 交集：两个都属于的元素
$A\cup B$: 并集：至少属于其中一个的元素

适用条件

$A\cap B=\varnothing$ （没有共同元素）时才能直接写 $n(A\cup B)=n(A)+n(B)$
配套的两条： $n(\overline A)=n(U)-n(A)$ ， $n(A\cap\overline B)=n(A)-n(A\cap B)$

怎么用

EJU 常考倍数计数。设 $A$ 、 $B$ 是某范围内 $a$ 的倍数、 $b$ 的倍数， $A\cap B$ 就是 $a$ 、 $b$ 的最小公倍数的倍数（ $6$ 与 $8$ 是 $24$ ，不是 $48$ ）。 $1$ 到 $N$ 里 $k$ 的倍数的个数是 $N$ 除以 $k$ 的商；从 $M$ 到 $N$ 要减去 $1$ 到 $M-1$ 里的个数。「两者都不是」用 $n(U)-n(A\cup B)$ ，「是 $a$ 的倍数但不是 $b$ 的倍数」用 $n(A)-n(A\cap B)$ 。

登录后免费阅读全文

本节还有 7 部分，以及配套的真题和小测验。

免费注册登录

本节公式一览
例题
容易错在哪里
自测
小结
日文术语