EJU 2004 年第 2 回 物理 第 12 题

正电荷所受电场力沿电场方向，大小为 $qE$。稳定位置是棒由 O 指向电场方向时的位置：若棒偏转小角 $\theta$，电场力的切向分量为 $-qE\sin\theta$，总把重物拉回稳定位置。

重物沿半径 $\ell$ 的圆弧运动，切向加速度为 $\ell\ddot\theta$，所以 $m\ell\ddot\theta=-qE\sin\theta$。小角度下 $\sin\theta\approx\theta$，得到 $\ddot\theta+[qE/(m\ell)]\theta=0$。与简谐运动方程比较，角频率为 $\sqrt{qE/(m\ell)}$，周期为 $2\pi\sqrt{m\ell/(qE)}$。

也可令弧长位移 $s=\ell\theta$，恢复力近似为 $-(qE/\ell)s$，等效劲度系数为 $qE/\ell$。运动限制在水平面，重力不提供沿圆弧的恢复力；不能套用含 $g$ 的重力单摆公式而不更换作用力来源。

杆对端点的约束力沿杆方向，不对圆周切向做功；在转动方程中，它也对O没有力矩，所以无需知道杆力的大小。先分解出切向电力就能闭合方程。这与求向心力不同：径向加速度主要保证轨道为圆，而周期由切向恢复规律决定，不能用 $qE=mv^2/\ell$ 当作本题的小振动条件。

偏转角以弧度进入小角近似，不能将以度数表示的角直接当作正弦值。周期公式不需要实际代入角度，只要偏转足够小，角度变量就会在比较简谐方程时消去。