EJU 2005 年第 2 回 物理 第 3 题

设斜面上$P$到$Q$的距离为$s$。对无摩擦物体$A$，沿斜面只有重力分量提供加速度，$a_A=g\sin\theta$。从静止运动到$Q$，有$v_A^2=2gs\sin\theta$。物体$B$的法向力为$N=m_Bg\cos\theta$，动摩擦力逆下滑方向，因此$a_B=g(\sin\theta-\mu'\cos\theta)$。

同样写出$v_B^2=2gs(\sin\theta-\mu'\cos\theta)$。将第二式除以第一式，得到$\dfrac{v_B^2}{v_A^2}=1-\mu'\cot\theta$。整理得$\mu'=\left(1-\dfrac{v_B^2}{v_A^2}\right)\tan\theta$。两物体质量可以不同，各自的质量在受力方程中都已消去。

平方速度出现，是因为同一段路程的零初速匀加速运动满足$v^2=2as$；不能把末速之比直接当加速度之比。无摩擦极限$v_B=v_A$给出$\mu'=0$，符合题意。既然$B$确实下滑到$Q$，结果还应非负并小于允许持续下滑的角度界限。

从力的方向看，摩擦力沿斜面向上，它削弱的是沿斜面重力分量，并不改变垂直斜面的几何分解。法向力仍由垂直方向平衡确定。两次过程用同一条斜面路程，才允许在速度平方式中消去距离；若直接比较运动时间，二者到达时间不同，不能假定它们在同一时间内走完。题给末速是速率，不包含方向符号，因此差值的非负性还需用摩擦减速的物理事实检查。