EJU 2005 年第 2 回 物理 第 6 题

墙面光滑，所以撞击时只施加水平方向的法向冲量，竖直速度分量连续。墙静止，恢复系数$e=0.5$使碰后的水平速度由$v$变为$-v/2$。球到达墙面的时间为$t_1=L/v$，反弹后从墙回到$x=0$的时间为$t_2=L/(v/2)=2L/v$，总时间为$t=3L/v$。

竖直方向的运动没有被墙的法向冲量打断，始终满足$y=vt-gt^2/2$。回到原点要求$y=0$且$t>0$，故$t=2v/g$。将两种方法得到的同一总时间相等，$3L/v=2v/g$，解得$v=\sqrt{3gL/2}$，取正根是因为球朝墙抛出。

不能把恢复系数乘到整个速度矢量上，否则会错误改变竖直运动。也不能把水平往返时间写成$2L/v$，因为反弹后返程速度只有出程的一半。结果的量纲为速度，且返程耗时更长，与恢复系数小于1相符。

返回原点的条件比返回原高度严格：后者只要求竖直坐标归零，前者还要求水平坐标归零。本题把两个方向给出的非零时间联立，正是在同时满足这两个条件。墙面对球的冲量会损失一部分水平动能，但不影响竖直运动的连续性，所以不应试图跨过非弹性碰撞守恒总机械能。