EJU 2005 年第 2 回 物理 第 7 题

在通常球形行星的表面引力模型中，$g=GM/R^2$。题给$M_B=pM_A$、$R_B=qR_A$，因此$\dfrac{g_B}{g_A}=\dfrac{p}{q^2}$。质量增加会增强表面重力，而半径增加使同一质量产生的表面重力减弱，两种影响必须同时保留。

小振幅单摆的周期为$T=2\pi\sqrt{\ell/g}$。两地摆长$\ell$相同，公共因子约去，所以$\dfrac{T_B}{T_A}=\sqrt{\dfrac{g_A}{g_B}}=\sqrt{\dfrac{q^2}{p}}=\dfrac q{\sqrt p}$。注意周期与重力的平方根成反比，不能沿用刚刚得到的$g_B/g_A$而忘记倒置。

若两颗行星完全相同，$p=q=1$时周期比为1。保持半径不变而增大$B$质量，周期应变短；保持质量不变而增大半径，周期应变长。得到的比例同时符合这两种检查。单摆公式使用小角度、局部重力近似恒定的模型，题目忽略自转公转使当地重力无需另计旋转修正。

不同星球上摆球自身的质量不会改变小角度周期，因此题目无需提供摆球质量。变化的是行星吸引造成的当地重力，而不是摆球受到某个与摆球质量无关的恒定拉力。用表面重力加速度作为中间量，既能保持这种区分，也避免在单摆周期式中重复加入摆球质量。