EJU 2005 年第 2 回 物理 第 5 题

取弹簧自然长对应的位置为压缩量$x=0$，向下压缩为正。碰前只有薄板质量$m$，平衡条件给出$x_0=mg/k$。黏土落下$h$后的速率为$\sqrt{2gh}$；等质量黏合后，共同向下速率$w=\sqrt{gh/2}$，此时位置仍是$x_0$。

碰后运动总质量为$2m$，所以新平衡位置为$x_E=2mg/k$，角频率$\omega=\sqrt{k/(2m)}$。相对新平衡位置的初位移为$x_0-x_E=-mg/k$。简谐运动的振幅满足$A^2=(x_0-x_E)^2+(w/\omega)^2$，因而$A=\dfrac{\sqrt{mg(mg+kh)}}k$。

最大压缩发生在新平衡位置下方一个振幅处，故$x_{\max}=x_E+A=\dfrac{2mg+\sqrt{mg(mg+kh)}}k$。一定要区分振幅、从碰撞点继续下降的距离以及相对自然长的压缩量，三者不是同一个量。根号内的$kh$项已包含黏合碰撞后的能量损失，不能用碰前全部$mgh$直接求振幅。

最大压缩点处整体速度为零，但合力通常并不为零，因为它位于新平衡位置下方，弹力大于总重力，整体随后会向上加速。因此不能以弹力等于重力来求最大压缩，那样只会得到振动中心。题中“不撞地板”确保运动在弹簧模型内完成，不需要在达到最低点前再引入地面碰撞阶段。