EJU 2009 年第 1 回 物理 第 4 题

最低点时球与支架都沿水平方向运动。设球向左的地面速率为 $v$，支架向右的速率为 $U$。水平面光滑，系统没有水平外力，而初态总水平动量为零，因此 $MU=mv$。这是支点移动带来的约束，不能直接把支架当作固定。

球从初位下降的高度为 $\ell-\ell\cos\theta=\ell(1-\cos\theta)$。重力势能的减少转化为球和支架的总动能，所以 $mg\ell(1-\cos\theta)=mv^2/2+MU^2/2$。代入 $U=mv/M$，整理得到 $v^2=2Mg\ell(1-\cos\theta)/(M+m)$。

球相对地面的速率因此为 $\sqrt{2Mg\ell(1-\cos\theta)/(M+m)}$。有限质量支架会运动并取得一部分能量，故球的速率小于固定支点情形。不能把绳长乘余弦本身当作下降距离，也不能只写球的动能。检查初始角为零时球没有下降，结果为零；支架质量很大时其运动趋弱，公式还原固定支点摆的结果。这里没有使用小角近似，所以不必把摆动当作简谐运动。

从能量分配也能看出质量因子的来源。用动量约束代换后，支架动能与球动能之比为球质量与支架质量之比；支架越轻，分去的能量越多。这个比较建立在最低点两个速度都水平的几何条件上，其他摆动位置不能不加分析地沿用相同速度方向。