EJU 2010 年第 2 回 物理 第 5 题

以弹簧自然长度位置为 $x=0$，向右为正，设弹簧常量为 $k$。初始位置 $x=-2d$、速度为零，总机械能为 $E_0=\tfrac12k(2d)^2=2kd^2$。

碰壁时 $x=d$，弹簧已伸长 $d$，仍具有势能 $\tfrac12kd^2$。因此碰前动能为 $K_-=2kd^2-\tfrac12kd^2=\tfrac32kd^2$。墙固定，恢复系数给出 $v_+=-ev_-$，故碰后动能 $K_+=e^2K_-$，而碰撞瞬间位置未变，弹簧势能也未变。

碰后总机械能为 $E_+=\tfrac12kd^2(1+3e^2)$。此后到最左端过程无摩擦，机械能守恒；最大压缩量为 $X$ 时速度为零，故 $\tfrac12kX^2=E_+$，得到 $X=d\sqrt{1+3e^2}$。

检查 $e=1$ 时恢复原振幅 $2d$，$e=0$ 时仍有弹簧势能，最大压缩为 $d$，两种极限都合理。