标准解析先由高度差确定最低点速率研究对象取小球。从初始的水平位置到 O 的正下方，小球下降的竖直高度正好是细线长度 ℓ\ellℓ。细线张力始终沿半径方向，而小球在各位置的瞬时位移沿切线方向，因此张力不做功；忽略其他阻力时可用机械能守恒。比较初态与最低点的机械能初态的动能为 12mv02\frac12 m v_0^221mv02。最低点比初态低 ℓ\ellℓ，重力势能减少 mgℓmg\ellmgℓ，这部分转化为动能：12mv2=12mv02+mgℓ\frac12 mv^2=\frac12 m v_0^2+mg\ell21mv2=21mv02+mgℓ。因此最低点速率满足 v2=v02+2gℓv^2=v_0^2+2g\ellv2=v02+2gℓ。