教材 · 数学 Course 1 · 数与式
整数的性质
整数の性質
约数与倍数、素因数分解、最大公约数与最小公倍数、带余除法、互除法与一次不定方程、进位制。
学习目标
- 能用倍数判定法判断一个数是不是 2、3、4、8、9、11 等的倍数，把自然数分解成素因数，并由分解式写出正约数的个数、约数之和，以及使根号开得尽的最小乘数。
- 能由分解式求两个或三个数的最大公约数和最小公倍数，用互除法求大数的最大公约数，并由已知的最大公约数、最小公倍数反求两个数，求一次不定方程的全部整数解。
- 能写出带余除法 （），按余数分类证明对所有整数成立的性质，求乘方的余数和个位数，并在十进制与 进制之间互相换算。
按顺序读五节。先读「约数、倍数与素因数分解」，素因数分解是整章的第一步；再读「最大公约数与最小公倍数」，它比较两个数的分解式，引出「互素」；然后读「整数的除法与余数」，把「是不是倍数」推广成「余几」，学会按余数分类证明。接着读「互除法与一次不定方程」，它反复使用带余除法，不分解也能求最大公约数，并用互素求出 的全部整数解；最后读「进位制」，每一位数字都是一次带余除法的余数。读本章前，最好已读过「集合与命题」里的对偶与反证法。
- 1约数、倍数与素因数分解約数と倍数・素因数分解素因数分解是整数题的第一步。 的约数就是从每种素因数里各取 到全部个，所以约数个数是 ；指数全是偶数时 是平方数。倍数判定法来自十进制：看末几位，或看各位数字之和。
- 2最大公约数与最小公倍数最大公約数と最小公倍数最大公约数取两数共有的素因数、指数取较小的；最小公倍数取全部素因数、指数取较大的。把 提出来写成 、， 与 互素，于是 、；已知 、 求两数时，关键是 、 互素。
- 3整数的除法与余数整数の割り算と余り对整数 和自然数 ，有唯一的 （）。和、差、积、乘方的余数，只看各自的余数就能算；连续 个整数里恰有一个 的倍数，所以连续两个整数之积是 的倍数，连续三个是 的倍数。
- 4互除法与一次不定方程互除法と1次不定方程式 时 ，反复做到余数为 ，那一步的除数就是最大公约数。、 互素时， 找到一组解 后，全部整数解是 ，： 跟着 的系数跳， 跟着 的系数跳。
- 5进位制記数法 进制从右数第 位的位权是 ，每位只能写 到 。化十进制就按位权展开；化 进制，整数部分连续除以 、余数从下往上读，小数部分连续乘 、整数部分从上往下读。 位的 进制数满足 。