进位制

記数法

6 整数の性質／記数法

一句话结论

$p$ 进制从右数第 $k$ 位的位权是 $p^{k-1}$ ，每位只能写 $0$ 到 $p-1$ 。化十进制就按位权展开；化 $p$ 进制，整数部分连续除以 $p$ 、余数从下往上读，小数部分连续乘 $p$ 、整数部分从上往下读。 $n$ 位的 $p$ 进制数满足 $p^{n-1}\le N\le p^n-1$ 。

钟表满 $60$ 秒进 $1$ 分，电脑只用 $0$ 和 $1$ 。同一个数量，换一种「满几进一」的规则，写出的数字串就完全不同：十个苹果在二进制里写作 $1010$ 。EJU 考的就是在这些写法之间换算，以及抓住「每一位代表多少」列方程。

为什么是这样

十进制的 $347$ 是「 $3$ 个百、 $4$ 个十、 $7$ 个一」：每满 $10$ 个捆成一个大单位，所以往左一位，位权（这一位的 $1$ 代表多少）乘 $10$ 。把 $10$ 换成 $p$ 就是 $p$ 进制：位权从右往左是 $1,\,p,\,p^2,\,\ldots$ ，每位只能写 $0$ 到 $p-1$ 。进制写在右下角，如 $331_{(5)}$ 。

化成 $p$ 进制，就是按 $p$ 个一捆来捆。 $N=pq+r$ 里，捆不成的零头 $r$ 是个位；商 $q$ 是捆数，再除以 $p$ ，余数是下一位。所以连续除以 $p$ ，先出来的余数在最右边，要从下往上读。

小数部分方向相反。小数点后的位权是 $\dfrac1p,\,\dfrac1{p^2},\,\ldots$ ，乘以 $p$ 等于小数点右移一位，冒到整数部分的就是小数第一位；剩下的小数再乘 $p$ 得第二位。既约分数 $\dfrac mn$ 在 $p$ 进制里是有限小数，当且仅当 $n$ 的素因数都是 $p$ 的素因数，否则乘多少次 $p$ 也消不掉分母。

定量表达

按位权展开： $2301_{(4)}=2\times4^3+3\times4^2+0\times4+1=177$ 。反过来把 $177$ 化成五进制： $177=5\times35+2$ ， $35=5\times7+0$ ， $7=5\times1+2$ ， $1=5\times0+1$ ，余数从下往上读得 $1202_{(5)}$ ，验算 $125+50+2=177$ 。

位数看位权： $n$ 位的 $p$ 进制数最小是 $100\cdots0_{(p)}=p^{n-1}$ ，最大是各位都为 $p-1$ 的数，等于 $p^n-1$ ，再加 $1$ 就进到 $n+1$ 位。三位的三进制数就是 $9$ 到 $26$ 。小数： $0.101_{(2)}=\dfrac12+\dfrac18=\dfrac58$ ； $0.375$ 化二进制， $0.375\times2=0.75$ ， $0.75\times2=1.5$ ， $0.5\times2=1$ ，整数部分依次是 $0,\,1,\,1$ ，得 $0.011_{(2)}$ 。 $0.1=\dfrac1{10}$ 的分母含 $5$ ，化成二进制是无限循环小数。

整除也能从数字看出： $p$ 进制数除以 $p$ 的余数就是个位数字；每个位权除以 $p-1$ 都余 $1$ ，所以 $N$ 与各位数字之和除以 $p-1$ 的余数相同。十进制「数字和是 $9$ 的倍数则是 $9$ 的倍数」就是 $p=10$ 的情形。

N=a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}p^{n-2}+\cdots+a_1p+a_0

$p$: 进制的底数（2 以上的整数）， $p$ 进制就是每满 $p$ 进一位
$n$: $N$ 用 $p$ 进制写出来的位数
$a_{n-1},\ \ldots,\ a_1,\ a_0$: 从最高位到个位的各位数字，写成 $a_{n-1}\cdots a_1a_0{}_{(p)}$
$p^{k}$: 从右往左第 $k+1$ 位的位权（这一位的 $1$ 代表多少）
$N$: 这个数本身的大小（十进制下的值）

适用条件

每位数字满足 $0\le a_k\le p-1$ ，最高位 $a_{n-1}\ne0$
$n$ 位的 $p$ 进制数满足 $p^{n-1}\le N\le p^n-1$
小数部分照样延伸：小数点后第 $k$ 位的位权是 $\dfrac{1}{p^k}$

怎么用

先分清题型。只是换算，就按位权展开或连续除。出现未知的进制或未知的数字，就按位权展开列方程，再用「每位在 $0$ 到 $p-1$ 之间、最高位不为 $0$ 」缩小范围。例： $121_{(p)}=64$ ，即 $(p+1)^2=64$ ， $p=7$ ，各位数字都小于 $7$ ，成立。 $p$ 进制的加法照样列竖式，满 $p$ 进一；拿不准就化成十进制算完再化回去。

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