约数、倍数与素因数分解

为什么是这样

整数 $a$ 能写成 $a=bk$（$k$ 是整数）时，$b$ 是 $a$ 的约数（約数），$a$ 是 $b$ 的倍数（倍数）。$0$ 是所有整数的倍数。大于 $1$、正约数只有 $1$ 和它自己的自然数叫素数（素数），如 $2,3,5,7,11$。$1$ 不是素数，$2$ 是唯一的偶素数。

倍数判定法来自十进制。$10$ 是 $2$、$5$ 的倍数，个位以外的部分都能整除，只看个位；$100$ 是 $4$ 的倍数，看末两位；$1000$ 是 $8$ 的倍数，看末三位。$3$ 和 $9$ 看各位数字之和，因为 $100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)$，括号里已是 $9$ 的倍数，剩下的正是数字和。

每个大于 $1$ 的自然数都能分解成素数的乘积，而且除了顺序只有一种分法。$72=2^3\cdot3^2$ 的约数里只能出现 $2$ 和 $3$，$2$ 最多 $3$ 个，$3$ 最多 $2$ 个，所以约数都形如 $2^{i}3^{j}$（$0\le i\le3$，$0\le j\le2$）。$i$ 有 $4$ 种取法，$j$ 有 $3$ 种，约数共 $4\times3=12$ 个。指数取 $0$ 也是一种取法，这就是「指数加 $1$」的来历。

约数之和也从这张表来：把 $(1+2+4+8)(1+3+9)$ 展开，每一项恰好是一个约数，而且每个约数只出现一次，所以和是 $15\times13=195$。

定量表达

判定法一览：$2$、$5$ 看个位，$4$ 看末两位，$8$ 看末三位，$3$、$9$ 看数字和；$11$ 看奇数位与偶数位数字和之差是否为 $11$ 的倍数。合起来用时，两个判定的数要互素：$6$ 是「$2$ 且 $3$」，$12$ 是「$3$ 且 $4$」，不是「$2$ 且 $6$」；$36$ 是「$4$ 且 $9$」。

设 $N=p^{a}q^{b}r^{c}$，正约数个数和总和见下面的公式块。约数里「某数的倍数」只数一部分：例如 $72$ 的约数中 $6$ 的倍数，要求 $i\ge1$、$j\ge1$，有 $3\times2=6$ 个，也就是 $72\div6=12$ 的约数个数。

$N$ 是平方数，当且仅当素因数分解里每个指数都是偶数，因为开平方就是把每个指数减半。所以要让 $\sqrt{Nn}$ 成为自然数，最小的 $n$ 是把指数为奇数的素数各补一个；$\sqrt{\dfrac{N}{n}}$ 型则是各拿掉一个。