否定、逆・裏・対偶、反证法

否定・逆・裏・対偶と背理法

2 集合と命題／命題と条件

一句话结论

否定时「且」「或」互换、「所有」「存在」互换；命题与它的对偶 $\overline q\Longrightarrow\overline p$ 真假相同，逆与裏则可能不同。直接证不出时，改证对偶，或者假设结论不成立、推出矛盾（反证法）。

要证「 $n^2$ 是 $3$ 的倍数，则 $n$ 是 $3$ 的倍数」，从 $n^2$ 出发很难往下推。换个方向，证「 $n$ 不是 $3$ 的倍数，则 $n^2$ 也不是」，几行就完。为什么能这样换？换成「 $n$ 是 $3$ 的倍数，则 $n^2$ 是」为什么就不行？这一节先学正确地说「不」，再看命题能怎样换方向。

为什么是这样

条件 $p$ 的否定（否定）记作 $\overline p$ ，对应集合 $P$ 的补集。由德摩根定律，「 $p$ 且 $q$ 」的否定是「 $\overline p$ 或 $\overline q$ 」，「 $p$ 或 $q$ 」的否定是「 $\overline p$ 且 $\overline q$ 」。所以「 $x>0$ 且 $y\le0$ 」的否定是「 $x\le0$ 或 $y>0$ 」，「 $a=b=c=0$ 」的否定是「 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 中至少一个不为 $0$ 」。 $>$ 的否定是 $\le$ ，不是 $<$ 。

「所有 $x$ 都满足 $p$ 」说的是 $P$ 等于全体，推翻它只要一个 $x$ 不满足 $p$ ，所以否定是「存在 $x$ 满足 $\overline p$ 」。「存在 $x$ 满足 $p$ 」说的是 $P$ 不空，否定是「所有 $x$ 都满足 $\overline p$ 」。命题和它的否定恰好一真一假。

对命题 $p\Longrightarrow q$ ， $q\Longrightarrow p$ 叫逆（逆）， $\overline p\Longrightarrow\overline q$ 叫裏（裏）， $\overline q\Longrightarrow\overline p$ 叫对偶（対偶）。看集合：「在 $P$ 里就一定在 $Q$ 里」和「在 $Q$ 外就一定在 $P$ 外」是同一件事，即 $P\subset Q\iff\overline Q\subset\overline P$ ，所以命题与对偶同真同假。逆说的是 $Q\subset P$ ，与原命题无关；裏是逆的对偶，与逆同真同假。

定量表达

不从假设一路推到结论的证法叫间接证明法（間接証明法），常用两种。对偶证明：要证 $p\Longrightarrow q$ ，改证 $\overline q\Longrightarrow\overline p$ 。整数题里「不是 $3$ 的倍数」不好直接算，就写成 $n=3k+1$ 或 $n=3k+2$ （ $k$ 为整数）分别代入。

反证法（背理法）：假设结论不成立，推出与已知条件、已知事实或假设本身冲突的结果（矛盾），从而结论成立。证明「 $\sqrt7$ 是无理数」就是典型，步骤见下方提示。

能写成整数之比的数是有理数（有理数），否则是无理数（無理数）。用反证法可得： $a$ 、 $b$ 为有理数时， $a+b\sqrt2=0\Longrightarrow a=b=0$ 。若 $b\ne0$ ，则 $\sqrt2=-\dfrac{a}{b}$ 是有理数，矛盾。所以有理系数的等式，有理部分和 $\sqrt2$ 的系数可以分别比较。

\left(p\Longrightarrow q\right)\ \text{真}\iff\left(\overline q\Longrightarrow\overline p\right)\ \text{真}

$p\Longrightarrow q$: 原命题
$\overline q\Longrightarrow\overline p$: 它的对偶（対偶，国内叫逆否命题）
$\overline p,\ \overline q$: $p$ 、 $q$ 的否定

适用条件

理由： $P\subset Q\iff\overline Q\subset\overline P$
逆 $q\Longrightarrow p$ 与裏 $\overline p\Longrightarrow\overline q$ 互为对偶，两者真假相同，但与原命题的真假无关

证

\sqrt7

是无理数：假设它是有理数，写成最简分数（既約分数）

\dfrac{a}{b}

，

a

、

b

是互素的自然数。两边平方得

a^2=7b^2

，所以

a^2

是

7

的倍数，

a

也是（

7

是素数）；设

a=7c

，代入得

b^2=7c^2

，

b

也是

7

的倍数。

a

、

b

有公约数

7

，与互素矛盾。同样的写法适用于

\sqrt2

、

\sqrt3

、

\sqrt5

。

怎么用

先判断用哪种：结论是「不是……」或「至少一个……」，用反证法，因为它们的否定「是……」「全都不……」给出了能算的式子；整数的「若……则……」正着推不动，用对偶；问逆、裏、対偶的真假，只需判断原命题和逆，另外两个照抄。写否定按三步：「所有」「存在」互换，「且」「或」互换，每个不等式换成它的补集。

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