命题与条件、充要条件

为什么是这样

能明确判断对错的陈述叫命题（命題），对的为真（真），错的为假（偽）。「$1$ 亿是很大的数」没有判断标准，不是命题。「$x>0$」这类含变量的陈述，真假随 $x$ 变，叫关于 $x$ 的条件（条件）。「若 $p$ 则 $q$」写作 $p\Longrightarrow q$，$p$ 是假设（仮定），$q$ 是结论（結論），意思是：凡满足 $p$ 的 $x$，都满足 $q$。

所以说它假，只要找到一个满足 $p$ 却不满足 $q$ 的 $x$，叫反例（反例）；说它真，必须对所有满足 $p$ 的 $x$ 讲出理由，举几个成立的例子不算数。把满足 $p$、$q$ 的 $x$ 的全体记作 $P$、$Q$，「凡 $P$ 里的都在 $Q$ 里」正是 $P\subset Q$，反例就是 $P$ 伸出 $Q$ 外的点。条件用「且」「或」（かつ・または）连起来，对应 $P\cap Q$、$P\cup Q$。

$p\Longrightarrow q$ 为真时，$p$ 叫 $q$ 的充分条件（十分条件）：有 $p$ 就足以保证 $q$；$q$ 叫 $p$ 的必要条件（必要条件）：没有 $q$ 就不可能有 $p$。看集合，小的 $P$ 充分，大的 $Q$ 必要。两个方向都真，即 $P=Q$，$p$ 与 $q$ 互为充要条件（必要十分条件），也叫同值（同値），记 $p\iff q$。

定量表达

判断「$p$ 是 $q$ 的什么条件」，把 $p\Longrightarrow q$ 和 $q\Longrightarrow p$ 各判一次，按公式块的表读答案。箭头从充分指向必要，日本学生记作「じゅう→よう」。国内教材的「充分条件」「充要条件」就是日文的「十分条件」「必要十分条件」。

实数条件常用这几条：$a^2\ge0$，等号只在 $a=0$ 时成立，所以 $x^2+y^2=0\iff x=y=0$；$xy=0\iff$「$x=0$ 或 $y=0$」；$c>0$ 时 $\lvert x\rvert<c\iff -c<x<c$。不等式给出的条件，把 $P$、$Q$ 画在数轴上比包含关系，端点取不取得到要单独看。