一次不等式与绝对值

为什么是这样

两边同加一个数，相当于数轴上两个点一起平移，左右关系不变；同乘一个正数，相当于以原点为中心等比例伸缩，左右关系也不变。乘负数就不同了：乘 $-1$ 把数轴左右翻转，原来在左边的点跑到右边，所以不等号必须反向。除以一个数就是乘它的倒数，规则相同。

$\lvert x-a\rvert$ 是数轴上 $x$ 与 $a$ 的距离。于是 $\lvert x-3\rvert<2$ 是离 3 不到 2 的点，即 $1<x<5$；$\lvert x-3\rvert>2$ 是这一段以外的两条射线，$x<1$ 或 $5<x$。$\lvert x-1\rvert+\lvert x+2\rvert$ 是到 $1$ 和到 $-2$ 的距离之和：$x$ 在两点之间时恒为 3，走出去每走 1 增加 2，图像像一只平底的碗。

定量表达

解一次不等式（1次不等式）的步骤和解方程一样：去括号，两边乘分母的最小公倍数去分母，移项整理成 $ax>b$，最后除以 $a$，$a<0$ 时变号。几个不等式同时成立叫不等式组（連立不等式），解是各自解的公共部分，在数轴上画出来取重叠的一段；$A<B<C$ 就是 $A<B$ 与 $B<C$ 的不等式组。

两个量各有范围时，和的范围是对应端相加。差不能对应端相减：先由 $C<y<D$ 写出 $-D<-y<-C$，再相加得 $A-D<x-y<B-C$。端点看参与相加的两端，只要有一边是严格的 $<$，结果那一端就是 $<$。「四舍五入到个位是 6」给出的是 $5.5\le x<6.5$，左闭右开。

去绝对值的根本办法是分情况（場合分け）：$A\ge0$ 时 $\lvert A\rvert=A$，$A<0$ 时 $\lvert A\rvert=-A$，分界点是使里面等于 0 的值。只有右边是正的常数时，才能直接用公式块里的形状。